Vzhledem ke zvyšujícím se nárokům na bezpečnost, spolehlivost a ekonomičnost inženýrských děl, je nutné nejen využívat pokročilé matematické metody řešení daných modelů, ale také uvažovat vstupní proměnné (např. materiálové charakteristiky) jako nejisté a reprezentované pomocí náhodných veličin (Sullivan 2015). K samotné analýze modelu je poté nutné využít teorii pravděpodobnosti a matematické statistiky za účelem získání statistických dat o zájmové veličině či pravděpodobnosti poruchy. Bohužel je pravděpodobnostní analýza matematických modelů reprezentujících reálné fyzikální systémy i přes významný rozvoj výpočetní techniky stále extrémně výpočetně náročná. Výpočetní náročnost spočívá v kombinaci výpočetní náročnosti samotného deterministického modelu reprezentující inženýrské dílo (typicky model řešený metodou konečných prkvů) spolu s velkým množsvtím repretitivních výpočtů matematického modelu požadovaných pro pravděpodobnostní analýzu. Z toho důvodu je typickým řešením vytvoření výpočetně efektivní aproximace originálního matematického modelů. Navrhovaný projekt se zabývá moderní a efektivní metodou pro tvorbu aproximace náhodných veličin či procesů pomocí rozvoje polynomiálního chaosu (PCE z angl. Polynomial Chaos Expansion). Ačkoli je PCE středem zájmu vědců i odborníků z průmyslu posledních cca 15 let, navrhovaný projekt je zaměřen na zcela inovativtní přístup při tvorbě samotné aproximace. Typicky je PCE vytvořen na základě několika výpočtů originálního modelu a znalosti pravděpodobnostního rozdělení vstupního náhodného vektoru. PCE je tedy, tak jako většina aproximačních metod, vytvořena pouze na základě znalosti bodových informací o matematickém modelu (vztah vstup-výstup). Jádrem navrhované metody je však zahrnutí také znalosti fyzikálních omezení daného modelu, což významně zvýší přesnost aproximace a eliminuje nereálně predikce aproximace v oblastech návrhového prostoru s malým množstvím informací získaných z originálního matematického modelu.

Description in English
This project is focused on the development of the theory of polynomial chaos expansion (PCE) used for approximations of random variables and processes. The core of this project (Phase 1) is represented by the theoretical development of a methodology for adaptive construction of PCE reflecting given physical constraints of the original mathematical model. Such an approach is completely novel since all known techniques only use known input-output information of the mathematical model in the given data points and thus their practical employment is conditioned by a sufficient number of these data points covering the whole design space spanned by input random variables. Based on the general framework and derived analytical characteristics of PCE, the next phase of the project will be aimed at the development of a numerical algorithm for the adaptive sequential construction of an approximation for engineering applications. Considering the generality of the methodology, it is possible to reflect various types of physical and other constraints. During the project, we will specifically investigate physical constraints given by partial differential equations with corresponding boundary conditions. Moreover for approximations of high-dimensional quantities of interests, we will investigate possibility of mutual orthogonal constraints among multiple connected approximations of principal components obtained by machine learning dimensional-reduction techniques. In the next phases of the proposed project, the developed novel methodology will be used in real-life applications from structural reliability (Phase 3) and material science using stochastic mechanics (Phase 2).

Keywords
Rozvoj polynomiálního chaosu, Spolehlivost konstrukcí, Kvantifikace nejistot, Stochastická mechanika

Key words in English
Polynomial Chaos Expansion, Structural Reliability, Stochastic mechanics, Uncertainty Quantification