Bachelor's Thesis

Classical and fractional modelling of oscillatory motion

Final Thesis 1.44 MB

Author of thesis: Ing. Jaromír Hošek

Acad. year: 2012/2013

Supervisor: doc. Ing. Tomáš Kisela, Ph.D.

Reviewer: doc. Ing. Petr Tomášek, Ph.D.

Abstract:

In this thesis we deal with the issue of damped oscillations. Besides the classic description using member directly proportional to the first derivative position we focus on the model containing derivatives of non-integer order, so-called the fractional model of damped oscillations. The behavior of both models is studied through the test applications describing the movement of one, two, respectively three bodies connected by springs. The main tool for solving is the Laplace transform method. Besides the computational aspects we discuss some qualitative properties of solutions, especially dependence on order derivative in the fractional model and the behavior of the center of gravity system position.

Keywords:

Differential equation, fractional calculus, Laplace transform, damped oscillation

Date of defence

18.06.2013

Result of the defence

Defended (thesis was successfully defended)

znamkaBznamka

Grading

B

Language of thesis

Czech

Faculty

Department

Study programme

Applied Sciences in Engineering (B3901-3)

Field of study

Mathematical Engineering (B-MAI)

Composition of Committee

doc. RNDr. Jiří Karásek, CSc. (předseda)
Mgr. Jana Hoderová, Ph.D. (místopředseda)
RNDr. Karel Mikulášek, Ph.D. (člen)
RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. (člen)
Ing. Josef Bednář, Ph.D. (člen)

Supervisor’s report
doc. Ing. Tomáš Kisela, Ph.D.


Hlavní téma práce, modelování tlumeného kmitavého pohybu za pomoci zlomkových diferenciálních rovnic, je častým námětem článků renomovaných autorů. Jde o problematiku, jejíž základy dosud nejsou plně usazeny, což klade vyšší nároky na její osvojení. V posuzované práci autor navazuje na myšlenky uvedené např. R. Herrmannem v knize "Fractional Calculus: An Introduction for Physicists".

Ústředním bodem práce je srovnání klasického a zlomkového modelu tlumených kmitů na příkladech jednoho, dvou a tří těles. V těchto početně dosti náročných úlohách autor prokázal schopnost vhodně využít nabytých znalostí matematické analýzy, které následně uplatnil pro dobré osvojení specifických vlastností zlomkového kalkulu, tedy disciplíny, která není součástí osnov a přesahuje tak rámec běžného studia. Pro řešení diferenciálních rovnic byla použita metoda Laplaceovy transformace, která je ve zlomkovém kalkulu v tomto ohledu zcela dominantní technikou. Zvláštní zmínku zaslouží způsob nalezení tvaru vhodného pro zpětnou transformaci u zlomkového modelu (podsekce 4.2.2 a 4.3.2). Uvedená technika dosud není v literatuře běžná, ku cti autora slouží fakt, že se k ní propracoval vlastním úsilím. Výsledky jednotlivých úloh jsou přehledně graficky ilustrovány, čímž je dobře doplněn komentář výhod i nevýhod použitých modelů. Jejich podrobnější rozbor by dalece přesahoval rámec bakalářské práce.

Po formální stránce práce vykazuje některé nedostatky, z nichž nejviditelnějším je záměna lichých a sudých stránek při vazbě práce. Dále pak můžeme zmínit např. chybějící či přebývající tečky a mezery v seznamu literatury, některé překlepy (např. ve jméně autora R. Resnicka), různé formáty obrázků či chyby v sazbě vzorců (např. (2.8)). V celkovém kontextu jsou však tyto skutečnosti nevýznamné a neměly by mít zásadní vliv na hodnocení.

Můžeme konstatovat, že všechny vytyčené cíle práce byly dosaženy. Práce splňuje očekávaní kladená na bakalářskou práci, v technických pasážích je občas dokonce překračuje. Student po celou dobu tvorby práce projevoval vysokou míru iniciativy a píle. 

Bakalářskou práci proto doporučuji k obhajobě s hodnocením B.
Evaluation criteria Grade
Splnění požadavků a cílů zadání A
Postup a rozsah řešení, adekvátnost použitých metod B
Vlastní přínos a originalita B
Schopnost interpretovat dosažené vysledky a vyvozovat z nich závěry C
Využitelnost výsledků v praxi nebo teorii B
Logické uspořádání práce a formální náležitosti B
Grafická, stylistická úprava a pravopis C
Práce s literaturou včetně citací C
Samostatnost studenta při zpracování tématu C
Display more

Grade proposed by supervisor: B

Bakalářská práce uvádí a srovnává dva přístupy k modelování kmitavého pohybu, a sice modelování prostřednictvím obyčejných diferenciálních rovnic a prostřednictvím zlomkových diferenciálních rovnic. Oba přístupy jsou ilustrovány a srovnány na vybraných úlohách z mechaniky – popis pohybu hmotného bodu na pružině, pohyb soustavy dvou a tří hmotných bodů spřažených pružinami. V těchto úlohách je uvažován odpor prostředí. Zadané cíle práce tak byly splněny.

V bakalářské práci je poměrně mnoho gramatických a typografických chyb, což působí značně rušivým dojmem. Jde především o interpunkci (např. Definice 2.1, první věta kapitoly 2.3, …). Asi nejkřiklavějším případem je první věta strany 22. Překlepy tohoto typu by mělo být snadné odhalit použitím integrovaného českého slovníku v příslušném textovém editoru.
Dále jsou např. dvě rovnítka na straně 5 u funkce E_{1,2}(z^2).
Za neúnosnou považuji chybu při zavedení základního pojmu, na kterém práce stojí, a sice Caputovy derivace (vztah (2.8)). Uvedený vztah je typografickou chybou zcela znehodnocen a je vyloženě zavádějící.

K práci mám dále tyto připomínky:
V definici 2.2 je za obyčejnou diferenciální rovnici označena jen rovnice 1. řádu.
Na str. 8 ve vztahu (2.17) má být ve jmenovateli \lambda namísto a.
Str. 9 – Formulace druhého Newtonova zákona: „Složka zrychlení ve směru…“ – není uvedeno zrychlení čeho. Dále výraz „sil měřených“ není zcela vhodný.
Str. 10. poslední vztah: ve druhé počáteční podmínce má být b_2 namísto b_1.
V kapitole 4 není při formulaci modelu dostatečně řečeno, co je neznámou x a jak je zaveden souřadný systém – umístění počátku.
Str. 12 dole: Ve výrazu pro X(s) má být ve jmenovateli (s+p/2)^2 namísto (s-p/2)^2.

V kapitole 4.2.1 je matematický model formulován jako (4.11). Řešení tohoto systému však prochází transformací a zpětná transformace již uvedena není. Podobně ve 4.2.2. Uvedení řešení x_1(t) a x_2(t) v obou případech (včetně obrázků) by napomohlo k ilustraci závěrů vyslovených na straně 18.

Na straně 18 v popisku obrázků by mělo být  spíše “poloha bodů vůči těžišti” než vzdálenost bodů od těžiště. Dále x1 a x2 v legendě může také působit zavádějícím dojmem (podobně obrázky na straně 28-30).

V textu není uveden odkaz na publikaci [9]. Ten měl být patrně uveden na straně 4 nahoře.

Bakalářskou práci doporučuji k obhajobě s hodnocením „dobře/C“.
Evaluation criteria Grade
Splnění požadavků a cílů zadání A
Postup a rozsah řešení, adekvátnost použitých metod A
Vlastní přínos a originalita C
Schopnost interpretovat dosaž. vysledky a vyvozovat z nich závěry D
Využitelnost výsledků v praxi nebo teorii C
Logické uspořádání práce a formální náležitosti B
Grafická, stylistická úprava a pravopis E
Práce s literaturou včetně citací C
Topics for thesis defence:
  1. Můžete uvést, jak budou vypadat řešení počátečních problémů ve fázové rovině (x_1,x_2) pro úlohy s parametry uvedenými v popiscích obrázků 4.3 až 4.8?
Display more

Grade proposed by reviewer: C