Bachelor's Thesis

Basics of space motion

Final Thesis 857.62 kB

Author of thesis: Ing. Michal Bahník

Acad. year: 2012/2013

Supervisor: doc. Ing. Tomáš Kisela, Ph.D.

Reviewer: Ing. Petra Rozehnalová, Ph.D.

Abstract:

This Bachelor thesis is a summarising text which deals with the issue of space motion. We analyse one-body, two-body and three-body problems. We derive analytical solution for the first two problems, from which we derive Kepler's laws, which are important for understanding of the space motion. We also discuss the relation of analytical solution to escape velocities. The closed form of analytical solution for general case of three-body problem does not exist. There are special cases, so-called stable orbits, for which the analytical solution is known. We design the numerical solution by explicit Runge-Kutta-Bogacki-Shampine method and back diferentiation method and we will test the results on the stable orbits.

Keywords:

Space motion, Kepler, two-body problem, three-body problem

Date of defence

18.06.2013

Result of the defence

Defended (thesis was successfully defended)

znamkaBznamka

Grading

B

Language of thesis

Czech

Faculty

Department

Study programme

Applied Sciences in Engineering (B3901-3)

Field of study

Mathematical Engineering (B-MAI)

Composition of Committee

doc. PaedDr. Dalibor Martišek, Ph.D. (předseda)
RNDr. Pavel Popela, Ph.D. (místopředseda)
Mgr. Irena Hlavičková, Ph.D. (člen)
doc. Mgr. Jaroslav Hrdina, Ph.D. (člen)
doc. Mgr. Zdeněk Opluštil, Ph.D. (člen)

Supervisor’s report
doc. Ing. Tomáš Kisela, Ph.D.


Hlavní téma práce, popis pohybu vesmírných těles, bylo po staletí zkoumáno mnoha významnými matematiky a fyziky. Práce se soustředí na shrnutí a přehledné vysvětlení základních metod a postupů používaných v této problematice a zvláštní důraz klade na souvislost fyzikálních pojmů (kosmická rychlost, Keplerovy zákony) a matematického pozadí úlohy. Jako hlavní zdroj autor sám zvolil knihu R.D. Gregoryho "Classical Mechanics".

Vlastní práce je přehledně členěna do kapitol popisujících po řadě problém jednoho, dvou a tří těles. V kapitole věnované problému jednoho tělesa autor detailně a srozumitelně popisuje techniku nalezení trajektorie pohybu a prokazuje tak dobrou orientaci v diferenciálním a integrálním počtu. V sekci 3.2 autor odvozuje konečný tvar trajektorie, nicméně se omezuje na volbu speciálních počátečních podmínek (poloha v periheliu). Důvodem mohla být snaha o lepší srozumitelnost, ale výpočet s obecnými podmínkami by nebyl o mnoho náročnější a jistě by zvýšil hodnotu práce i s ohledem na pozdější výpočet kosmických rychlostí. Kapitola týkající se problému dvou těles se dá považovat za nosnou. Zabývá se klíčovým vztahem problémů jednoho a dvou těles, který umožňuje výrazné zjednodušení úlohy pomocí pojmu redukované hmotnosti, jejíž zavedení autor podrobně vysvětluje. Dále jsou diskutovány souvislosti kvalitativních vlastností řešení s pojmem kosmické rychlosti a také Keplerovy zákony. Kapitola o problému tří těles zmiňuje aktuální téma stabilních orbit a využívá je pro testování vhodnosti numerických metod pro řešení tohoto problému. Autor za tímto účelem zvolil v Matlabu implementovanou explicitní Runge-Kuttovu, tzv. Bogacki-Shampine, metodu a metodu zpětného derivování. Z didaktických důvodů by možná bylo vhodnější volit lépe "srovnatelné" metody, např. zpětnou a dopřednou Eulerovu metodu. Ačkoli autor v práci demonstruje funkčnost programu pro názornost pouze na rovinných problémech tří těles, je třeba zdůraznit, že přiložený program pracuje ve třech prostorových proměnných.

Po formální stránce práce vykazuje některé nedostatky, např. nesystematický způsob zápisu jmen autorů v seznamu literatury, chybějící interpunkce za některými vztahy, různé velikosti obrázků, chyba v zadání nulové počáteční podmínky (3.3) atd. V celkovém kontextu jsou však tyto skutečnosti nevýznamné a neměly by mít zásadní vliv na hodnocení.

Můžeme konstatovat, že vytyčené cíle práce byly dosaženy a práce splňuje očekávání kladená na bakalářskou práci. Student po dobu tvorby práce projevoval vysokou míru samostatnosti a ukázal dobrou schopnost práce s literaturou.

Bakalářskou práci proto doporučuji k obhajobě s hodnocením B.
Evaluation criteria Grade
Splnění požadavků a cílů zadání B
Postup a rozsah řešení, adekvátnost použitých metod C
Vlastní přínos a originalita C
Schopnost interpretovat dosažené vysledky a vyvozovat z nich závěry B
Využitelnost výsledků v praxi nebo teorii C
Logické uspořádání práce a formální náležitosti B
Grafická, stylistická úprava a pravopis C
Práce s literaturou včetně citací B
Samostatnost studenta při zpracování tématu B
Display more

Grade proposed by supervisor: B

Reviewer’s report
Ing. Petra Rozehnalová, Ph.D.

Práce podává přehledné odvození rovnice dráhy vesmírných těles a její analytické řešení v případě problému jednoho a dvou těles. Z těchto výsledků jsou odvozeny Keplerovy zákony a vztahy pro výpočet kosmických rychlostí. V případě problému tři těles jsou prezentována numerická řešení. Tímto autor splnil všechny cíle práce.

Rovnice dráhy je odvozena ze základních fyzikálních zákonů (druhý a třetí Newtonův pohybový zákon, Newtonův gravitační zákon). Mohlo se také uvést odvození z Hamiltonova principu.

Bakalářská práce je napsána v češtině, má formálně 33 stran. Její text začíná na straně 7 a má 26 stran, následuje jednostránkový přehled použité literatury. Práce je logicky strukturovaná a je rozčleněna na 6 částí: Úvod (1 strana), Teoretický základ (10 stran), Problém jednoho tělesa (4 strany), Problém dvou těles (6 stran), Problém tří těles (4 strany) a Závěr (1 strana).

V práci se objevuje několik věcných nedostatků. Definice 2.7 nepřipouští definici kružnice (E a F jsou dva různé body, excentricita je kladná), nicméně v dalším textu je kružnice považována za speciální případ elipsy.  Poslední vztah na str. 11 neplatí, lze to ukázat například volbou hodnot a = 5, b = 3, e = 4, což jsou přípustné parametry elipsy. Podobně neplatí poslední vztah na str. 12 například pro volbu parametrů a = 4, b = 3, e = 5 (hyperbola). V obou případech zde pravděpodobně došlo k označení dvou veličin (excentricity a numerické excentricity) stejným písmenem e. V textu není objasněno, co je označeno písmenem M ve vztahu (3.1) na str. 18. Ve vztazích (4.11) a (4.12) na str. 25 by měla být, místo rychlosti v, počáteční rychlost, která je v předchozím textu značena v_0.

Bakalářská práce je napsána korektním jazykem a obsahuje jen nevelké množství gramatických, stylistických a typografických chyb. Namátkou: na str. 7 je několik jednopísmenných předložek a spojek na konci řádků, na str. 8 je v definici 2.1 špatně rozděleno slovo "diferenciální", na str. 12 je v druhém odstavci zaměněno slovo "hyperbola" za slovo "parabola", za vztahem (2.12) na str. 14. chybí tečka. Na několika stranách se vyskytuje nevhodně vysázený operátor derivace.  Na str. 28 v posledních rovnicích ze soustav (5.1) a (5.2) je překlep, kdy místo m_2 je v rovnicích m_3.

Zvolené téma není snadné a převyšuje látku probíranou v kurzech bakalářského studia. Přes uvedené drobné nedostatky předložená práce je kvalitní a splňuje požadavky kladené na bakalářskou práci, proto ji doporučuji k obhajobě.
Evaluation criteria Grade
Splnění požadavků a cílů zadání A
Postup a rozsah řešení, adekvátnost použitých metod B
Vlastní přínos a originalita B
Schopnost interpretovat dosaž. vysledky a vyvozovat z nich závěry A
Využitelnost výsledků v praxi nebo teorii A
Logické uspořádání práce a formální náležitosti A
Grafická, stylistická úprava a pravopis C
Práce s literaturou včetně citací A
Topics for thesis defence:
  1. 1) Daly by se oslabit předpoklady vět 2.1 a 2.2?
  2. 2) Jaký je rozdíl mezi excentricitou elipsy nebo hyperboly a jejich numerickou (číselnou) excentricitou? Která z nich vystupuje ve vztahu (2.7)?
  3. 3) Jak se odvodí vztah na str. 21, který je nad vztahem (3.14), pomocí teorie dvojných integrálů?
Display more

Grade proposed by reviewer: B