Detail předmětu
Funkcionální analýza I
FSI-SU1Ak. rok: 2010/2011
Předmět se zabývá základní pojmy funkcionální analýzy a jejich ilustrování na konkrétních metrických, normovaných lineárních a unitárních prostorech. Probrána je i Lebesgueova míra, Lebesgueův integrál a prostory integrovatelných funkcí. Výsledků jsou využity pro řešení úloh matematické a numerické analýzy.
Jazyk výuky
čeština
Počet kreditů
6
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Výsledky učení předmětu
Znalost základních pojmů metrických, lineárních normovaných a unitárních prostorů, Lebesgueova integrálu a schopnost tyto pojmy využívat.
Prerekvizity
Diferenciální a integrální počet, numerické metody, obyčejné diferenciální rovnice.
Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody
Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT.
Způsob a kritéria hodnocení
Zápočet: aktivní účast ve cvičeních, úspěšné napsání kontrolní práce.
Zkouška - praktická část: ilustrace pojmů na konkrétních příkladech.
Teoretická část: otázky z přednesené látky.
Zkouška - praktická část: ilustrace pojmů na konkrétních příkladech.
Teoretická část: otázky z přednesené látky.
Učební cíle
Seznámit a naučit pracovat studenty se základními pojmy a postupy funkcionální analýzy, které jsou využívány v dalších matematických předmětech.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky
V případě nepřítomnosti si student musí doplnit zameškanou látku samostudiem z literatury.
Základní literatura
A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL, Praha 1975. (CS)
C. Costara, D. Popa, Exercises in functional analysis, Kluwer 2003. (EN)
F. Burk, Lebesgue measure and integration: An introduction, Wiley 1998. (EN)
C. Costara, D. Popa, Exercises in functional analysis, Kluwer 2003. (EN)
F. Burk, Lebesgue measure and integration: An introduction, Wiley 1998. (EN)
Zařazení předmětu ve studijních plánech
Typ (způsob) výuky
Přednáška
26 hod., nepovinná
Vyučující / Lektor
Osnova
1. Metrické prostory, definice a příklady. Otevřené a uzavřené množiny.
2. Konvergence. Uzávěr, vnitřek a hranice množiny, příklady v konečné dimenzi.
3. Separabilní, totálně ohraničené množiny, sítě, prostory posloupností.
4. Kompaktní množiny a úplné prostory. Prostory spojitých funkcí.
5. Věta o zúplnění. Banachova věta o pevném bodu.
6. Měřitelné množiny a míra v R^1.
7. Měřitelné funkce a Lebesgueův integrál.
8. Věty o limitních přechodech.
9. Lebesgueova míra a integrál v R^n.
10. Prostory integrovatelných funkcí, nerovnosti.
11. Lineární a normované prostory, lineární funkcionály a jejich norma.
12. Skalární součin a Hilbertův prostor. Abstraktní Fourierovy řady.
13. Rezerva.
2. Konvergence. Uzávěr, vnitřek a hranice množiny, příklady v konečné dimenzi.
3. Separabilní, totálně ohraničené množiny, sítě, prostory posloupností.
4. Kompaktní množiny a úplné prostory. Prostory spojitých funkcí.
5. Věta o zúplnění. Banachova věta o pevném bodu.
6. Měřitelné množiny a míra v R^1.
7. Měřitelné funkce a Lebesgueův integrál.
8. Věty o limitních přechodech.
9. Lebesgueova míra a integrál v R^n.
10. Prostory integrovatelných funkcí, nerovnosti.
11. Lineární a normované prostory, lineární funkcionály a jejich norma.
12. Skalární součin a Hilbertův prostor. Abstraktní Fourierovy řady.
13. Rezerva.
Cvičení
26 hod., povinná
Vyučující / Lektor
Osnova
Procičování látky z přednášek na konkrétních příkladech prostorů konečné dimenze, prostorů posloupností a prostorů spojitých a integrovatelných funkcí.