Detail předmětu

Diferenciální rovnice a jejich použití v elektrotechnice.

FEKT-LDREAk. rok: 2011/2012

Předmět je věnován některým důležitým okruhům obyčejných diferenciálních rovnic a parciálních diferenciálních rovnic, které nebyly v bakalářském studiu probírány. Z obyčejných diferenciálních rovnic jde například o exaktní rovnice, které jsou souhrnných typem velkého množství rovnic. Je prohloubeno učivo o systémech lineárních diferenciálních rovnic včetně autonomních. Z aplikačního hlediska je důležitá řada diferenciálních rovnic, kterým je v předmětu věnována pozornost, uveďme např. Besselovu nebo Laplaceovu rovnici. Jedním z centrálních pojmů v aplikacích diferenciálních rovnic je pojem stability, která je v kurzu probírána. Jsou uvedeny také metody zjišťování stability, mj. metoda Ljapunovovských funkcí, která patří k základním v teorii stability. V kurzu je hojně využíván maticový počet, pomocí kterého je řada výsledků formulována. Parciální rovnice často modelují řadu technických jevů. Mimo jiné budou uvedeny základní metody řešení vlnové rovnice, rovnice vedení tepla a Laplaceovy rovnice. Ve cvičeních bude důraz kladen i na zvládnutí moderního matematického software při řešení různých typů diferenciálních rovnic.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

5

Garant předmětu

prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (UMAT)

Výsledky učení předmětu

Schopnost orientace v základních pojmech a metodách diferenciálních rovnic. Řešení úloh z oblastí, uvedených v anotaci, pomocí aplikace těchto metod. Řešení úloh využitím moderního matematického software.

Prerekvizity

Jsou požadovány znalosti na úrovni bakalářského studia.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT.

Způsob a kritéria hodnocení

Hodnoceny budou schopnosti řešit některé typy diferenciálních rovnic a použití teoretických poznatků, které úspěšné řešení podmiňují.

Osnovy výuky

I. Diferenciální rovnice prvního řádu. Základní pojmy. Existence řešení. Postupné aproximace. Přehled nejdůležitějších typů rovnic prvního řádu, které lze řešit analyticky. Rovnice vyšších řádů. Řešení lineárních rovnic druhého řádu pomocí mocninných řad. Besselova rovnice a Besselovy funkce.
II. Existence a jednoznačnost řešení systémů diferenciálních rovnic prvního řádu. Lineární systémy obyčejných diferenciálních rovnic. Obecné vlastnosti řešení a jeho struktura. Přenosová matice. Řešení počáteční úlohy užitím přenosové matice. Lineární systémy s konstantními koeficienty (homogenní systémy - eliminační metoda, metoda charakteristických čísel, využití exponenciály matice, Putzerův algoritmus řešení, nehomogenní systémy - metoda neurčitých koeficientů, metoda variace konstant). Popis elektrických obvodů lineárními systémy.
III. Stabilita řešení systémů diferenciálních rovnic. Autonomní systémy. Ljapunovova přímá metoda pro autonomní systémy. Ljapunovovská funkce. Ljapunovova přímá metoda pro neautonomní systémy. Stabilita lineárních systémů. Hurwitzovo kritérium. Michajlovovo kritérium. Stabilita podle lineární aproximace. Fázová analýza lineárního dvourozměrného autonomního systému s konstantními koeficienty a případy stability.
IV. Limitní cykly a periodická řešení. Poincarého-Bendixsonova věta. Liénardova-Levinsonova-Smithova věta. Aplikace na nelineární rovnice popisující periodické režimy elektrotechnických procesů.
IV. Parciální diferenciální rovnice prvního řádu. Počáteční úloha. Nejjednodušší typy rovnic. Charakteristický systém. Existence řešení. Obecné řešení. První integrály. Pfaffova rovnice.
V. Parciální diferenciální rovnice druhého řádu. Klasifikace rovnic. Transformace proměnných. Vlnová rovnice, D’Alembertův vzorec. Rovnice vedení tepla, Dirichletova úloha. Laplaceova rovnice. Řešení Fourierovou metodou separace proměnných.

Učební cíle

Diferenciální rovnice jsou páteří mnoha oblastí inženýrských věd. Cílem kursu je vytvořit základní představy o vlastnostech řešení diferenciálních rovnic, vyložit základní techniky a metody jejich řešení. Úkolem kursu je nejenom seznámit s některými přesnými metodami řešení diferenciálních rovnic, ale také ukázat na možnosti získání přibližných informací o vlastnostech řešení (např.při zjišťování stability řešení). Metody jsou ilustrovány na konkrétních příkladech z elektrotechniky.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.
Nutnými podmínkami k udělení zápočtu jsou - pravidelná účast na cvičeních, nenulové hodnocení půlsemestrální písemné práce a závěrečného písemného testu.

Základní literatura

Amaranath, T, An Elementary Course in Partial Differential Equations, Narosa Publ. House, 1997.
DIBLÍK, J., BAŠTINEC, J., HLAVIČKOVÁ, I. Diferenciální rovnice a jejich použití v elektrotechnice. 1 vyd. Brno: FEKT VUT, 2005. s. 1 - 174 . ISBN MAT502
Diblík, J., Přibyl, O., Obyčejné diferenciální rovnice, Akademické vydavatelství Cerm, Brno, 150 str., 2004
Farlow, J. Stanley, An Introduction to Differential Equations and Their Applications, McGraw-Hill, Inc., 609 pp., 1994
I.P.Stavroulakis, S.A. Tersian, Partial Differential Equations, An Introduction with Mathematica and Maple, World Scientific, 2004, ISBN 981-238-815-X
Kuben, J., Obyčejné diferenciální rovnice, UN OB v Brně, katedra matematiky 2003 (skriptum).
Ráb, M., Metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, Brno, 1998, 96str.
Zill, Dennis, G., A first course in differential equations, 5. ed., PWS-Kent Publishing Company, 598 pp., 1993

Doporučená literatura

Angot, A., Užitá matematika pro elektrotechnické inženýry, SNTL, SVTL, 1972.
Mayer, D., Úvod do teorie elektrických obvodů, SNTL, ALFA, 1978.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program EEKR-ML magisterský navazující

    obor ML-SVE , 1 ročník, zimní semestr, teoretická nadstavba
    obor ML-KAM , 1 ročník, zimní semestr, teoretická nadstavba
    obor ML-TIT , 1 ročník, zimní semestr, teoretická nadstavba
    obor ML-EST , 1 ročník, zimní semestr, teoretická nadstavba
    obor ML-MEL , 1 ročník, zimní semestr, teoretická nadstavba

  • Program EEKR-CZV celoživotní vzdělávání (není studentem)

    obor ET-CZV , 1 ročník, zimní semestr, teoretická nadstavba

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Zdeněk Svoboda, CSc.

Osnova

1. Diferenciální rovnice prvního řádu.
2. Přehled nejdůležitějších typů rovnic prvního řádu, které lze řešit analyticky.
3. Rovnice vyšších řádů. Řešení rovnic druhého řádu pomocí mocninných řad. Besselova rovnice a Besselovy funkce.
4. Systémy diferenciálních rovnic prvního řádu. Lineární systémy obyčejných diferenciálních rovnic. Přenosová matice.
5. Lineární systémy s konstantními koeficienty (eliminační metoda, metoda charakteristických čísel, exponenciála matice, Putzerův algoritmus řešení, metoda neurčitých koeficientů, metoda variace konstant). Popis elektrických obvodů
6. Stabilita. Autonomní systémy. Ljapunovovská funkce. Ljapunovova přímá metoda.
7. Stabilita lineárních systémů. Kritéria stability. Stabilita podle lineární aproximace. 8.Fázová analýza lineárního dvourozměrného autonomního systému s konstantními koeficienty. 9. Limitní cykly, periodická řešení. Kritéria periodicity. Aplikace.
10. Parciální diferenciální rovnice prvního řádu.
11. Počáteční úloha. Charakteristický systém. Existence řešení. Obecné řešení. První integrály. Pfaffova rovnice.
12. Parciální diferenciální rovnice druhého řádu. Klasifikace rovnic. Transformace proměnných. Vlnová rovnice, D’Alembertův vzorec. Rovnice vedení tepla, Dirichletova úloha.
13. Laplaceova rovnice. Řešení Fourierovou metodou separace proměnných.
Ilustrace pojmů a metod pomocí moderního matematického software.

Cvičení na počítači

13 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Zdeněk Svoboda, CSc.

Osnova

Přesná řešení rovnic prvního řádu a vyšších řádů. Směrová pole diferenciálních rovnic. Přibližné řešení rovnic prvního řádu a vyšších řádů. Popis elektrických obvodů diferenciálními rovnicemi. Van der Poolova rovnice. Řešení ve tvaru nekonečných řad. Besselova rovnice, Besselovy funkce. Diskuse předností a slabin matematického software. Analýza dvourozměrného lineárního dynamického systému. Algoritmy řešení vícerozměrného lineárního systému s konstantními koeficienty. Kriteria stability, softwarové rozhodování o stabilitě. Parciální rovnice prvního řádu. Softwarové řešení základních typů parciálních rovnic druhého řádu.