Detail předmětu

Funkcionální analýza II

FSI-SU2Ak. rok: 2011/2012

Opakování pojmů z Funkcionální analýzy I. Funkcionály, duální prostory. Teorie lineárních operátorů. Kompaktní množiny a operátory. Inverze ohraničených lineárních operátorů. Spektrální teorie kompaktních operátorů.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

4

Garant předmětu

doc. RNDr. Vítězslav Veselý, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Výsledky učení předmětu

Znalost základů funkcionální analýzy, teorie prostorů a teorie lineárních operátorů. Znalost řešení úloh zejména v Hilbertových prostorech, znalost řešení úloh pomocí abstraktních Fourierových řad a Fourierovy transformace.

Prerekvizity

Diferenciální a integrální počet, základy funkcionální analýzy, diferenciální rovnice.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT.

Způsob a kritéria hodnocení

Zápočet: aktivní účast ve výuce. Zkouška ústní: znalost definic základních pojmů a zodpovězení kontrolních otázek z teorie.

Učební cíle

Seznámit posluchače s hlavními výsledky lineární funkcionální analýzy a jejich použitím při řešení úloh matematického modelovaní.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Při nepřítomnosti nutnost doplnit probíranou látku samostudiem případně domácími úkoly.

Základní literatura

A.E.Taylor: Úvod do funkcionální analýzy. Academia, Praha 1973. (CS)
A.N.Kolmogorov, S.V.Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL, Praha 1975. (CS)
L.Debnath, P.Mikusinski: Introduction to Hilbert spaces with Applications. 2-nd ed., Academic Press, London, 1999. (EN)

Doporučená literatura

A.W.Naylor, G.R.Sell: Teória lineárnych operátorov v technických a prírodných vedách, Alfa, Bratislava 1971 (CS)
A.Ženíšek: Funkcionální analýza II, skripta FSI VUT, PC-DIR, Brno 1999. (CS)
J. Kačur: Vybrané kapitoly z matematickej fyziky I, skripta MFF UK, Bratislava 1984. (CS)
L.A.Ljusternik, V.J.Sobolev: Elementy funkcionalnovo analiza, (CS)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program M2A-P magisterský navazující

    obor M-MAI , 1 ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Vítězslav Veselý, CSc.

Osnova

1. Tpologické, metrické, normované lineární a prostory s vnitřním součinem, opakování.
2. Projekce, faktorprostor.
3. Ortogonální báze, abstraktní Fourierovy řady.
4. Spojité lineární funkcionály, Hahn-Banachova věta.
5. Slabá konvergence.
6. Lineární operátory, Banach-Steinhausova věta.
7. Adjungovaný operátor.
8. Kompaktní množiny a kompaktní operátory.
9. Inverze lineárních operátorů v Banachově a Hilbertově prostoru
10. Spektrální teorie lineárních kompaktních operátorů.
11. Hilbertova-Schmidtova věta.
12. Příklady a aplikace.
13. Rezerva.

Cvičení

13 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Vítězslav Veselý, CSc.

Osnova

Opakování látky z Funkcionální analýzy I. a procvičování látky z přednášek na konkrétních příkladech prostorů posloupností a integrovatelných funkcí.