Detail předmětu

Funkcionální analýza I

FSI-SU1Ak. rok: 2011/2012

Předmět se zabývá základní pojmy funkcionální analýzy a jejich ilustrování na konkrétních metrických, normovaných lineárních a unitárních prostorech. Probrána je i Lebesgueova míra, Lebesgueův integrál a prostory integrovatelných funkcí. Výsledků jsou využity pro řešení úloh matematické a numerické analýzy.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

6

Garant předmětu

prof. RNDr. Jan Franců, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Výsledky učení předmětu

Znalost základních pojmů metrických, lineárních, normovaných a unitárních prostorů, Lebesgueova integrálu a schopnost tyto pojmy využívat.

Prerekvizity

Diferenciální a integrální počet, numerické metody, obyčejné diferenciální rovnice.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT.

Způsob a kritéria hodnocení

Zápočet: aktivní účast ve cvičeních, úspěšné napsání kontrolní práce.
Zkouška - praktická část: ilustrace pojmů na konkrétních příkladech.
Teoretická část: otázky z přednesené látky.

Učební cíle

Seznámit a naučit pracovat studenty se základními pojmy a postupy funkcionální analýzy, které jsou využívány v dalších matematických předmětech.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

V případě nepřítomnosti si student musí doplnit zameškanou látku samostudiem z literatury.

Základní literatura

A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL, Praha 1975. (CS)
C. Costara, D. Popa, Exercises in functional analysis, Kluwer 2003. (EN)
F. Burk, Lebesgue measure and integration: An introduction, Wiley 1998. (EN)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program B3A-P bakalářský

    obor B-MAI , 2 ročník, letní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Jan Franců, CSc.

Osnova

1. Metrické prostory, definice a příklady. Otevřené a uzavřené množiny.
2. Konvergence. Uzávěr, vnitřek a hranice množiny, příklady v konečné dimenzi.
3. Separabilní, totálně ohraničené množiny, sítě, prostory posloupností.
4. Kompaktní množiny a úplné prostory. Prostory spojitých funkcí.
5. Věta o zúplnění. Banachova věta o pevném bodu a její aplikace.
6. Měřitelné množiny a míra v R^1.
7. Měřitelné funkce a Lebesgueův integrál.
8. Věty o limitních přechodech.
9. Lebesgueova míra a integrál v R^n.
10. Prostory integrovatelných funkcí, nerovnosti.
11. Lineární a normované prostory, lineární funkcionály a jejich norma.
12. Skalární součin a Hilbertův prostor. Abstraktní Fourierovy řady.
13. Rezerva.

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Jan Franců, CSc.

Osnova

Procičování látky z přednášek na konkrétních příkladech prostorů konečné dimenze, prostorů posloupností a prostorů spojitých a integrovatelných funkcí.