čeština

Znalosti, dovednosti a kompetence studentů se projeví v následujících oblastech:
1. Student získá základní znalosti z teorie nekonečných řad a bude je schopný aplikovat při výpočtu integrálů a diferenciálních rovnic, které nelze řešit elementárními metodami. Získaných znalostí může v případě další potřeby uplatnit při numerické analýze.
2. Student se s využitím znalostí z předchozího tématu seznámí se základy teorie funkce komplexní proměnné a pochopí některé zásadní odlišnosti oproti funkcím reálné proměnné. Naučí se pracovat s elementárními funkcemi, pochopí pojem holomorfní funkce a zvládne výpočet křivkových integrálů a primitivní funkce.
3. Student se seznámí se spojitou i diskrétní metodou nejmenších čtverců a jejich aplikacích při numerické aproximaci a zpracování výsledků měření. Dále pochopí její význam při konstrukci Fourierových trigonometrických polynomů a Fourierových trigonometrických řad.
4. Student zvládne aparát Fourierových řad, osvojí si jejich výpočet a bude schopen je aplikovat při modelování periodických dějů.
5. Student zvládne pojem Fourierovy transformace (včetně diskrétní a rychlé) po stránce teoretické i početní. Zvládne pojem Diracovy distribuce. Dále pochopí význam Fourierovy transformace v teorii signálů a její aplikace v spektroskopii.
6. Student zvládne pojem tensoru a tensorového pole včetně základních operací, a to i na varietách. Seznámí se se základními aplikacemi tensorového počtu v teoretické fyzice i v materálových vědách.

Lineární algebra, diferenciální a integrální počet funkcí jedné a více proměnných.

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT.

Zkouška se skládá z části testové (50 procent hodnocení) a ústní (50 procent hodnocení). Celkové hodnocení předmětu je dáno zkouškou.

1. Číselné a funkční nekonečné řady - pojem bodové a stejnoměrné konvergence, Weierstrassovo kriterium.
2. Věta o derivaci a integraci člene po členu, mocninné a Taylorovy řady, pojem analytické funkce. Algebraické operace s mocninnými řadami.
3. Integrace a řešení diferenciálních rovnic technikou mocninných řad.
4. Komplexní čísla - algebraické vlastnosti, metrika, stereografická projekce. Elementární funkce komplexní proměnné, Eulerovy vzorce.
5. Derivace funkce komplexní proměnné, pojem holomorfní funkce, Cauchy- Riemannovy podmínky, harmonické a harmonicky sdružené funkce.
6. Pojem křivky, křivkový integrál funkce komplexní proměnné, Cauchyovy formule, nezávislost křivkového integrálu na na integrační cestě, pojem primitivní funkce.
7. Metoda nejmenších čtverců, ortogonální systémy funkcí,pojem harmonické funkce a trigonometrického polynomu, Fourierův trigonometrický polynom, Fourierovy řady.
8. Výpočty Fourierových řad a jejich aplikace. Fourierova transformace - slovník FT, věta o konvoluci, pojem distribuce.
9. Diracova distribuce a její vlastnosti, aplikace FT ve spektroskopii, metoda dekonvoluce, apodizační křivky, rozlišitelnost. Diskrétní a rychlá FT.
10. Duální vektorové prostory, tensorový součin vektorových prostorů. Tensory (kovariantní, kontravariantní a smíšené), algebraické operace, tensorová algebra.
11. Pojem hladké variety a podvariety,tečného a kotečného bandlu. Tensorová pole na varietách, příklady (vektorový součin, objemová forma, tensor napětí a deformace, metrický tensor).
12. Symetrické a antisymetrické tensory, diferenciální formy, operace diferencování na tensorových polích, Poincarého lemma a jeho aplikace v teorii polí.
13. Metrický tensor v obecné teorii relativity, informativně pojem kovariantní derivace, tensory torse a křivosti, tensorový charakter fyzikálních zákonů.

Prvním cílem je získat základní znalosti o nekonečných řadách a funkci komplexní proměnné. Dalším cílem je získat teoretické i početní dovednosti týkající se Fourierových řadh a Fourierově transformaci a seznámit se s jejich významem a apliklacemi. Dalším cílem je zvládnout tensory s důrazem na vybrané jejich vybrané typy spolu s algebraickými operacemi. tensorových polí a jejich aplikacemi. Dále pak tensorová pole s operátory a fyzikálními aplikacemi.

Účast na přednáškách je nepovinná.

Eliáš, J., Horváth, J., Kajan, J., Šulka, R.: Zbierka úloh z vyššej matematiky IV, 1972 (CS)
Havelka, J. Veverka, J.: Matematika - Dif. rovnice - Nekonečné řady (CS)
Klíč A., Dubcová M.: Základy tensorového počtu s aplikacemi. VŠCHT v Praze, Praha 1998. (CS)
Klíč A., Volek K., Dubcová M.: Fourierova transformace, VŠCHT v Praze, Praha 2002. (CS)
Koukal S., Křížek M., Potůček R.: Fourierovy trigonometrické řady a metoda konečných prvků v komplexním oboru. Academia, Praha 2002. (CS)

Doupovec M.: Diferenciální geometrie a tensorový počet. FSI VUT Brno, Brno 1999. (CS)
Griffiths P. R.: Chemical Infrared Fourier Transform Spectroscopy. John Wiley, New York 1975. (CS)
Novák, V.: Analýza v komplexním oboru, skripta Přf. MU (CS)
Novák, V.: Nekonečné řady, skripta Přf MU (CS)