angličtina

Schopnost orientace v základních pojmech a metodách diferenciálních rovnic. Řešení úloh z oblastí, uvedených v anotaci, pomocí aplikace těchto metod. Řešení úloh využitím moderního matematického software.

Jsou požadovány znalosti na úrovni bakalářského studia.

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT.

Hodnoceny budou schopnosti řešit některé typy diferenciálních rovnic a použití teoretických poznatků, které úspěšné řešení podmiňují.

I. Diferenciální rovnice prvního řádu. Základní pojmy. Existence řešení. Postupné aproximace. Přehled nejdůležitějších typů rovnic prvního řádu, které lze řešit analyticky. Rovnice vyšších řádů. Řešení lineárních rovnic druhého řádu pomocí mocninných řad. Besselova rovnice a Besselovy funkce.
II. Existence a jednoznačnost řešení systémů diferenciálních rovnic prvního řádu. Lineární systémy obyčejných diferenciálních rovnic. Obecné vlastnosti řešení a jeho struktura. Přenosová matice. Řešení počáteční úlohy užitím přenosové matice. Lineární systémy s konstantními koeficienty (homogenní systémy - eliminační metoda, metoda charakteristických čísel, využití exponenciály matice, Putzerův algoritmus řešení, nehomogenní systémy - metoda neurčitých koeficientů, metoda variace konstant). Popis elektrických obvodů lineárními systémy.
III. Stabilita řešení systémů diferenciálních rovnic. Autonomní systémy. Ljapunovova přímá metoda pro autonomní systémy. Ljapunovovská funkce. Ljapunovova přímá metoda pro neautonomní systémy. Stabilita lineárních systémů. Hurwitzovo kritérium. Michajlovovo kritérium. Stabilita podle lineární aproximace. Fázová analýza lineárního dvourozměrného autonomního systému s konstantními koeficienty a případy stability.
IV. Limitní cykly a periodická řešení. Poincarého-Bendixsonova věta. Liénardova-Levinsonova-Smithova věta. Aplikace na nelineární rovnice popisující periodické režimy elektrotechnických procesů.
IV. Parciální diferenciální rovnice prvního řádu. Počáteční úloha. Nejjednodušší typy rovnic. Charakteristický systém. Existence řešení. Obecné řešení. První integrály. Pfaffova rovnice.
V. Parciální diferenciální rovnice druhého řádu. Klasifikace rovnic. Transformace proměnných. Vlnová rovnice, D’Alembertův vzorec. Rovnice vedení tepla, Dirichletova úloha. Laplaceova rovnice. Řešení Fourierovou metodou separace proměnných.

Diferenciální rovnice jsou páteří mnoha oblastí inženýrských věd. Cílem kursu je vytvořit základní představy o vlastnostech řešení diferenciálních rovnic, vyložit základní techniky a metody jejich řešení. Úkolem kursu je nejenom seznámit s některými přesnými metodami řešení diferenciálních rovnic, ale také ukázat na možnosti získání přibližných informací o vlastnostech řešení (např.při zjišťování stability řešení). Metody jsou ilustrovány na konkrétních příkladech z elektrotechniky.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.
Nutnými podmínkami k udělení zápočtu jsou - pravidelná účast na cvičeních, nenulové hodnocení půlsemestrální písemné práce a závěrečného písemného testu.

Amaranath, T, An Elementary Course in Partial Differential Equations, Narosa Publ. House, 1997.
DIBLÍK, J., BAŠTINEC, J., HLAVIČKOVÁ, I. Diferenciální rovnice a jejich použití v elektrotechnice. 1 vyd. Brno: FEKT VUT, 2005. s. 1 - 174 . ISBN MAT502
Farlow, J. Stanley, An Introduction to Differential Equations and Their Applications, McGraw-Hill, Inc., 609 pp., 1994
I.P.Stavroulakis, S.A. Tersian, Partial Differential Equations, An Introduction with Mathematica and Maple, World Scientific, 2004, ISBN 981-238-815-X
Zill, Dennis, G., A first course in differential equations, 5. ed., PWS-Kent Publishing Company, 598 pp., 1993