čeština

Studenti budou seznámeni s některými exaktními a numerickými metodami řešení diferenciálních rovnic a se základy techniky formalizovaného řešení pomocí Laplaceovy, Fourierovy a Z-transformace. Získají znalosti a dovednosti k řešení obyčejných diferenciálních rovnic a v druhé části nutné znalosti o Laplaceově, Fourierově a Z-transformaci. Dále získají vhled do základních pojmů teorie signálů a systémů jako deterministických signálů, signálů se spojitým časem, diskrétních signálů a matematického modelu systému se spojitým časem, jakožto i vstupně -výstupního popisu s využitím matematického aparátu vyloženého v předcházejících částech učebního textu. Tato závěrečná část má připravit studenty ke studiu podrobnější literatury věnované zmíněné problematice.

Jsou požadovány znalosti na úrovni středoškolského studia a předmětu BMA1. K dobrému zvládnutí látky předmětu je zapotřebí umět určovat deefiniční obory běžných funkcí jedné proměnné, pochopení pojmu limity funkce jedné proměnné, číselné posloupnosti a její limity a řešit konkrétní standardní úlohy. Dále je nutná znalost pravidel pro derivování reálných funkcí jedné proměnné, znalost základních metod integrování - integrace per partes, metodu substituce u neurčitého i určitého integrálu a tyto umět aplikovat na úlohy v rozsahu skript BMA1. Rovněž je požadována znalost nekonečných číselných řad a některých základních kriterií jejich konvergence.

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT. Zejména se jedná o přednášky, semináře věnované řešení konkrétních úloh, individuální konzultace a studium doporučené literatury.

Podmínky pro úspěšné ukončení předmětu stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

1. Funkce více proměnných, zobrazení (limita, spojitost). Parciální derivace, gradient.
2. Obyčejné diferenciální rovnice a systémy diferenciálních rovnic. Základní pojmy a základy kvalitativní teorie (existence a jednoznačnost řešení DR, stabilita). Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty, stabilita řešení.
3. Diferenční rovnice. Základní pojmy a základy kvalitativní teorie (existence a jednoznačnost řešení DR) Lineární difereční rovnice.
4. Funkce komplexní proměnné, derivace komplexní funkce. Integrální počet v komplexním oboru, Cauchyova věta, Cauchyův vzorec.
5. Laurentova řada, singulární body a jejich klasifikace, pojem rezidua a reziduová věta
6. Matematický aparát pro popis signálů. Distribuce, harmonické funkce, periodické funkce a Fourierova řada.
7. Přímá a zpětná Fourierova transformace. Gramatika transformace. Aplikace
8. Přímá a zpětná Laplaceova transformace, souvislost s Fourierovou transformací. Gramatika transformace.
9. Aplikace Laplaceovy transformace při řešení diferenciálních rovnic a jejich systémů.
10. Přímá a zpětná transformace Z. Použití Z transformace při řešení diferenčních rovnic.
11. Signály a jejich klasifikace.Signály se spojitým časem, periodický a harmonický signál, aperiodické signály, spektrum signálu.
12. Systémy -zavedení pojmu a klasifikace. Matematický model systému se spojitým časem a
řešení vstupně-výstupní rovnice Laplaceovou transformací. Impulsní a frekvenční charakteristika.
13. Vazby mezi systémy - sériové, paralelní spojení systémů, zpětná vazba. Stabilita systémů.

Seznámit studenty v první části s některými metodami řešení obyčejných diferenciálních rovnic a v druhé části s Laplaceovou, Fourierovou a Z-transformací. Dále podat vysvětlení základních pojmů teorie signálů a systémů jako deterministických signálů, signálů se spojitým časem, diskrétních signálů a matematického modelu systému se spojitým časem, jakožto i vstupně -výstupního popisu s využitím matematického aparátu vyloženého v předcházejících částech učebního textu. Tato závěrečná část má připravit studenty ke studiu podrobnější literatury věnované zmíněné problematice.

Během semestru budou studenty vypracovány dva individuální projekty a hodnoceny dva písemné testy o celkovém součtu bodů 30.

Edita Kolářová: Matematika 2. Sbírka úloh. FEKT VUT v Brně, UMAT
František Melkes, Martin Řezáč: Matematika 2, FEKT VUT v Brně, UMAT

Jan Chvalina, Zdeněk Svoboda, Michal Novák: Matematika 2, FEKT VUT v Brně. UMAT