Detail předmětu

Matematická analýza III

FSI-SA3Ak. rok: 2015/2016

Předmět Matematická analýza III seznámí studenty oboru Matematické inženýrství se základy teorie nekonečných řad a obyčejných diferenciálních rovnic. Znalost teorie diferenciálních rovnic a metod jejich řešení je nezbytným předpokladem a nepostradatelným základem nejen pro další studium matematiky, ale i pro fyzikální a technické disciplíny. Nekonečné řady jsou důležitým prostředkem pro nejrůznější matematické a fyzikální výpočty, a mají četné praktické využití. Předmět zahrnuje následující témata:
Číselné řady. Funkční řady. Mocninné řady.
Taylorovy řady a rozvoje funkcí v Taylorovy řady. Fourierovy řady a rozvoje funkcí ve Fourierovy řady.
Obyčejné diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice prvního řádu.
Lineární diferenciální rovnice vyšších řádů. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu. Teorie stability.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

8

Garant předmětu

prof. RNDr. Jan Čermák, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Výsledky učení předmětu

V kurzu Matematická analýza III studenti zvládnou elementární metody
řešení obyčejných diferenciálních rovnic prvního i vyšších řádů, včetně
lineárních systémů. Dále jsou seznámeni
s kritérii konvergence řad, odhady zbytků řad a metodami rozvoje
funkcí do mocninných a Fourierových řad.

Prerekvizity

Lineární algebra, diferenciální a integrální počet funkcí jedné a více proměnných.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.

Způsob a kritéria hodnocení

Podmínky udělení zápočtu: Aktivní účast ve cvičení. Splnění všech
podmínek průběžné kontroly znalostí. Získání minimálně poloviny všech možných bodů
z kontrolní práce, která se koná ve dvanáctém výukovém týdnu. Pokud student tuto podmínku
nesplní, lze v odůvodněných případech stanovit podmínku náhradní.
Zkouška: Zkouška prověřuje znalosti definic a vět (zejména schopnost
jejich užití na vybraných úlohách) a praktickou dovednost při řešení
příkladů. Zkouška je písemná (příp. i ústní). Do klasifikačního hodnocení
se zahrnuje výsledek písemné zkoušky.
V odůvodněných případech lze přihlédnout také k výsledkům kontrolních
prací v teoretickém cvičení.
Klasifikační hodnocení studenta: výborně (90-100 bodů), velmi dobře
(80-89 bodů), dobře (70-79 bodů), uspokojivě (60-69 bodů), dostatečně (50-59 bodů), nevyhovující (0-49 bodů). Bodové hodnocení může být modifikováno, avšak při zachování výše uvedených poměrů.

Učební cíle

Cílem kurzu je seznámit studenty se základními pojmy teorie
obyčejných diferenciálních rovnic a teorie nekonečných řad. Úkolem
je naučit studenty elementární metody řešení diferenciálních rovnic
a jejich systémů a seznámit je s využitím nekonečných řad.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Účast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je kontrolovaná. Výuka probíhá dle týdenních plánů rozvrhů. Stanovení způsobů náhrady zmeškané výuky je v kompetenci vedoucího cvičení.

Základní literatura

Fichtengolc, G.M.: Kurs differencialnogo i integralnogo isčislenija, tom II, Moskva, 1966.
Fichtengolc, G.M.: Kurs differencialnogo i integralnogo isčislenija, tom III, Moskva, 1966.
Hartman, P.: Ordinary differential equations, New York, 1964.

Doporučená literatura

Čermák, J., Nechvátal, L.: Matematika III, Brno, 2016. (CS)
Čermák, J.: Sbírka příkladů z Matematické analýzy III a IV, Brno, 1998.
Kalas, J., Ráb, M.: Obyčejné diferenciální rovnice, Brno, 1995.
Ženíšek, A.: Vybrané kapitoly z matematické analýzy, Brno, 1997.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program B3A-P bakalářský

    obor B-MAI , 2 ročník, zimní semestr, povinný
    obor B-FIN , 2 ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Jan Čermák, CSc.

Osnova

1. Číselné řady. Kritéria konvergence. Absolutní a neabsolutní konvergence.
2. Funkční řady. Bodová a stejnoměrná konvergence.
3. Mocninné řady. Poloměr konvergence. Vlastnosti mocninných řad.
4. Taylorovy řady a rozvoje funkcí v Taylorovy řady.
5. Fourierovy řady. Otázky konvergence a rozvoje funkcí.
6. ODR. Základní pojmy. Druhy řešení. Počáteční a okrajový problém.
7. Analytické metody řešení ODR 1. řádu. Otázka existence a jednoznačnosti řešení.
8. ODR vyššího řádu. Vlastnosti řešení lineárních ODR vyššího řádu.
9. Metody řešení lineárních ODR vyššího řádu.
10. Okrajový problém pro ODR 2. řádu.
11. Soustavy ODR 1. řádu. Vlastnosti řešení lineárních soustav ODR 1. řádu.
12. Metody řešení lineárních soustav ODR 1. řádu.
13. Stabilita řešení ODR a jejich soustav.

Cvičení

33 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Ing. Tomáš Kisela, Ph.D.
prof. RNDr. Jan Čermák, CSc.

Osnova

1. Limity a integrály-opakování.
2. Číselné řady.
3. Funkční řady.
4. Mocninné řady.
5. Taylorovy řady.
6. Fourierovy řady.
7. Analytické metody řešení ODR 1. řádu.
8. Aplikace ODR1.
9. Homogenní lineární ODR vyššího řádu.
10. Nehomogenní lineární ODR vyššího řádu.
11. Aplikace lineárních ODR vyššího řádu.
12. Homogenní soustavy lineárních ODR 1. řádu.
13. Nehomogenní soustavy lineárních ODR 1. řádu.

Cvičení s počítačovou podporou

6 hod., povinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Jan Čermák, CSc.

Osnova

Cvičení probíhá na bázi programu MAPLE v počítačové učebně. Tento typ výuky je zaměřen na počítačovou podporu zejména následujících témat: 1. Funkční řady - grafické ilustrace typů konvergence u probíraných řad (se zaměřením na řady Taylorovy a Fourierovy). 2. ODR - grafické metody řešení (směrová pole), geometrická interpretace jednotlivých typů řešení (fázový portrét řešení), metoda Taylorových řad, geometrické aplikace (ortogonální trajektorie a další).