Detail předmětu

Diskrétní matematika

FIT-IDAAk. rok: 2015/2016

Množina, relace a zobrazení. Ekvivalence a rozklady. Uspořádání. Struktury s jednou a dvěma operacemi. Svazy a Boolovy algebry. Sémantika a syntaxe výrokového počtu. Normální tvary formulí. Matice a determinanty. Vektorové prostory a podprostory. Soustavy lineárních rovnic. Základní pojmy teorie grafů. Souvislost grafů. Podgrafy a morfismy grafů. Problém rovinnosti. Stromy a jejich vlastnosti. Jednoduché grafové algoritmy.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

7

Garant předmětu

doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (UMAT)

Výsledky učení předmětu

Studenti získají elementární znalosti z diskrétní matematiky a lineární algebry, a schopnost orientace v souvisejících matematických strukturách.

Prerekvizity

Středoškolská matematika.

Způsob a kritéria hodnocení

Hodnocení studia je založeno na bodovacím systému. Pro úspěšné absolvování předmětu je nutno dosáhnout 50 bodů.

Osnovy výuky

    Osnova přednášek:
    1. Formální jazyk matematiky. Intuitivní množinové pojmy. Základní množinové operace. Množinové mohutnosti. Číselné množiny. Kombinatorické vlastnosti množin. Princip inkluze a exkluze. Techniky důkazů a jejich ilustrace.
    2. Binární relace a zobrazení. Skládání relací a zobrazení. Vlastnosti zobrazení. Indexované systémy množin a jejich zobrazení. Abstraktní prostory. Reálné funkce a jejich vlastnosti. Spojitost a nespojitost. Rekurzívně definované funkce.
    3. Další vlastnosti binárních relací. Reflexivní, symetrický a transitivní uzávěr. Ekvivalence a rozklady. Uspořádání, zvláště svazové. Hasseovské diagramy.
    4. Algebry s jednou a dvěma operacemi a jejich morfismy. Grupy a tělesa. Svaz jako množina se dvěma operacemi. Booleova algebra.
    5. Hlavní vlastnosti a zákony Boolových algeber. Dualita a množinová reprezentace konečných Boolových algeber.
    6. Formule a sémantika výrokového počtu. Interpretace a klasifikace formulí. Boolova algebra neekvivalentních formulí. Syntaxe výrokového počtu. Věta o kompaktnosti. Normální tvary formulí.
    7. Matice a maticové operace. Determinant čtvercové matice. Inverzní a adjungovaná matice. Metody výpočtu determinantu.
    8. Vektorový prostor a jeho podprostory. Báze a dimenze. Vyjádření vektoru v bázi. Transformace souřadnic. Lineární zobrazení vektorových prostorů.
    9. Soustavy lineárních rovnic. Gaussova eliminace. Frobeniova věta. Cramerovo pravidlo.
    10. Skalární a unitární součin. Ortonormální systémy vektorů. Ortogonální průmět vektoru do podprostoru. Vektorový a smíšený součin.
    11. Grafy a jejich různé reprezentace. Sledy, tahy a cesty. Algoritmus nalezení nejkratší cesty. Souvislost grafů.
    12. Podgrafy. Izomorfismus a homeomorfismus grafů. Eulerovské a hamiltonovské grafy. Problém rovinnosti.
    13. Stromy, kostry a jejich vlastnosti. Binární stromy a jejich prohledávání. Tok v orientovaném grafu.

    Osnova numerických cvičení:
  1. Budou procvičena témata z přednášek ve vhodném rozsahu.

    2. Osnova počítačových cvičení:
    Dvě dvouhodinová cvičení k tématům přednášek číslo 8, 9 a 10.
    Osnova ostatní - projekty, práce:
    Pět samostatných domácích úloh - bližší informace sdělí vyučující.

Učební cíle

Předmět poskytuje základní znalosti z matematiky potřebné pro řadu navazujících předmětů. Studenti se seznámí s elementárními poznatky z algebry a diskrétní matematiky, s důrazem na matematické struktury, které jsou potřebné pro pozdější aplikace v informatice.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Absolvování cvičení ve stanoveném rozsahu.

Základní literatura

Anderson I., A First Course in Discrete Mathematics, Springer-Verlag, London 2001. Acharjya D. P., Sreekumar, Fundamental Approach to Discrete Mathematics, New Age International Publishers, New Delhi, 2005. Faure R., Heurgon E., Uspořádání a Booloeovy algebry, Academia, Praha 1984. Gantmacher, F. R., The Theory of Matrices, Chelsea Publ. Comp., New York, 1960. Garnier R.,  Taylor J., Discrete Mathematics for New Technology, Institute of Physics Publishing, Bristol and Philadelphia 2002. Gratzer G., General Lattice Theory, Birkhauser Verlag, Berlin 2003. Grimaldi R. P., Discrete and Combinatorial Mathematics, Pearson Addison Valley, Boston 2004. Grossman P., Discrete mathematics for computing, Palgrave Macmillan, New York 2002. Johnsonbaugh, R., Discrete mathematics, Macmillan Publ. Comp., New York, 1984. Kolář, J., Štěpánková, O., Chytil, M., Logika, algebry a grafy, STNL, Praha 1989. Kolibiar, M. a kol., Algebra a príbuzné disciplíny, Alfa, Bratislava, 1992. Kolman B., Elementary Linear Algebra, Macmillan Publ. Comp., New York 1986. Kolman B., Introductory Linear Algebra, Macmillan Publ. Comp., New York 1993. Kolman B., Busby R. C., Ross S. C., Discrete Mathematical Structures, Pearson Education, Hong-Kong 2001. Klazar M., Kratochvíl J, Loebl M., Matoušek J. Thomas R., Valtr P., Topics in Discrete Mathematics, Springer-Verlag, Berlin 2006. Kučera, L., Kombinatorické algoritmy, SNTL, Praha 1983. Lipschutz, S., Lipson, M.L., Theory and Problems of Discrete Mathematics, McGraw-Hill, New York, 1997. Lovász L., Pelikán J., Vesztergombi, Discrete Mathematics, Springer-Verlag, New York 2003. Mannucci M. A., Yanofsky N. S., Quantum Computing For Computer Scientists, Cambridge University Press, Cambridge 2008. Mathews, K., Elementary Linear Algebra, University of Queensland, AU, 1991. Matoušek J., Nešetřil J., Kapitoly z diskrétní matematiky, Karolinum, Praha 2000. Matoušek J., Nešetřil J., Invitation to Discrete Mathematics, Oxford University Press, Oxford 2008. Nahara M., Ohmi T., Qauntum Computing: From Linear Algebra to Physical Realizations, CRC Press, Boca Raton 2008. O'Donnell, J., Hall C., Page R., Discrete Mathematics Using a Computer, Springer-Verlag, London 2006. Preparata, F.P., Yeh, R.T., Úvod do teórie diskrétnych štruktúr, Alfa, Bratislava, 1982. Rosen, K.H., Discrete Mathematics and its Applications, AT & T Information systems, New York 1988. Rosen, K. H. et al., Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics, CRC Press, Boca Raton 2000. Ross, S. M. Topics in Finite and Discrete Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge 2000. Sochor, A., Klasická matematická logika, Karolinum, Praha 2001. Švejdar, V., Logika, neúplnost, složitost a nutnost, Academia, Praha 2002. Vickers S., Topology via Logic, Cambridge University Press, Cambridge 1990.

Doporučená literatura

Demlová M., Nagy J., Algebra, SNTL, Praha 1982. Havel, V., Holenda, J., Lineární algebra, STNL, Praha 1984. Jablonskij, S.V., Úvod do diskrétnej matematiky, Alfa, Bratislava, 1984. Kolář, J., Štěpánková, O., Chytil, M., Logika, algebry a grafy, STNL, Praha 1989. Matoušek J., Nešetřil J., Kapitoly z diskrétní matematiky, Karolinum, Praha 2000. Peregrin J., Logika a logiky, Academia, Praha 2004. Preparata, F.P., Yeh, R.T., Úvod do teórie diskrétnych štruktúr, Alfa, Bratislava, 1982.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program IT-BC-3 bakalářský

    obor BIT , 1 ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

52 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D.

Osnova

  1. Formální jazyk matematiky. Intuitivní množinové pojmy. Základní množinové operace. Množinové mohutnosti. Číselné množiny. Kombinatorické vlastnosti množin. Princip inkluze a exkluze. Techniky důkazů a jejich ilustrace.
  2. Binární relace a zobrazení. Skládání relací a zobrazení. Vlastnosti zobrazení. Indexované systémy množin a jejich zobrazení. Abstraktní prostory. Reálné funkce a jejich vlastnosti. Spojitost a nespojitost. Rekurzívně definované funkce.
  3. Další vlastnosti binárních relací. Reflexivní, symetrický a transitivní uzávěr. Ekvivalence a rozklady. Uspořádání, zvláště svazové. Hasseovské diagramy.
  4. Algebry s jednou a dvěma operacemi a jejich morfismy. Grupy a tělesa. Svaz jako množina se dvěma operacemi. Booleova algebra.
  5. Hlavní vlastnosti a zákony Boolových algeber. Dualita a množinová reprezentace konečných Boolových algeber.
  6. Formule a sémantika výrokového počtu. Interpretace a klasifikace formulí. Boolova algebra neekvivalentních formulí. Syntaxe výrokového počtu. Věta o kompaktnosti. Normální tvary formulí.
  7. Matice a maticové operace. Determinant čtvercové matice. Inverzní a adjungovaná matice. Metody výpočtu determinantu.
  8. Vektorový prostor a jeho podprostory. Báze a dimenze. Vyjádření vektoru v bázi. Transformace souřadnic. Lineární zobrazení vektorových prostorů.
  9. Soustavy lineárních rovnic. Gaussova eliminace. Frobeniova věta. Cramerovo pravidlo.
  10. Skalární a unitární součin. Ortonormální systémy vektorů. Ortogonální průmět vektoru do podprostoru. Vektorový a smíšený součin.
  11. Grafy a jejich různé reprezentace. Sledy, tahy a cesty. Algoritmus nalezení nejkratší cesty. Souvislost grafů.
  12. Podgrafy. Izomorfismus a homeomorfismus grafů. Eulerovské a hamiltonovské grafy. Problém rovinnosti.
  13. Stromy, kostry a jejich vlastnosti. Binární stromy a jejich prohledávání. Tok v orientovaném grafu.

Cvičení odborného základu

12 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D.

Osnova

  • Budou procvičena témata z přednášek ve vhodném rozsahu.

Cvičení na počítači

4 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D.

Osnova

Dvě dvouhodinová cvičení k tématům přednášek číslo 8, 9 a 10.

Projekt

10 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D.