čeština

Schopnost orientace v základních pojmech a metodách diferenciálních rovnic. Řešení vybraných úloh z oblastí obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic, uvedených v anotaci, pomocí aplikace těchto metod. Řešení úloh využitím moderního matematického software. Zásadními výstupy jsou:
1) Umět explicitně řešit základní typy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu (separované, lineární, exaktní, Bernoulliova, Cleiro).
2) Schopnost rozboru počáteční úlohy a určení její řešitelnosti.
3) Konstrukce řešení pomocí metody postupných aproximací.
4) Modelování obvodů pomocí lineárních rovnic vyššího řádu a jejich řešení.
5) Řešení systémů lineárních obyčejných diferenciálních rovnic, pokud je znám fundamentální system řešení.
6) Řešení homogenních systémů lineárních obyčejných diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty metodou vlastních vektorů a metodou exponenciály matice.
7) Konstrukce partikulárních řešení nehomogenních lineárních diferenciálních systémů.
8) Zjišťování stability lineárních systémů diferenciálních rovnic s proměnnými koeficienty a s konstantími koeficienty (spravné použití kriterií stability).
9) Řešení jednoduchých parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu.
10) Využití metody charakteristik a prvních integrálů při řešení parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu.
11) Aplikace D’Alembertovy metody na řešení lineárních parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu.
12) Využití Fourierovy metody při řešení lineárních parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu, aplikace Fourierových řad.
13) Podrobná konstrukce řešení vlnové rovnice a rovnice vedení tepla.
14) Laplaceova parciální diferenciální rovnic a její řešení.
15) Formulace Dirichletovy úlohy pro lineární parciální rovnice druhého řádu a jejich řešení.

Jsou požadovány znalosti na úrovni bakalářského studia.

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT.

Hodnoceny budou schopnosti řešit některé vybrané typy diferenciálních rovnic a také schopnosti správného použití teoretických poznatků, které úspěšné řešení podmiňují.
Výsledké hodnocení (zkouška) je bodové (0-100 bodů), ze cvičení lze uznat maximálně 30 bodů. Závěrečná zkouška je písemná a lze za ni získat maximálně 70 bodů.

I. Diferenciální rovnice prvního řádu. Základní pojmy. Existence řešení. Postupné aproximace. Přehled nejdůležitějších typů rovnic prvního řádu, které lze řešit analyticky. Rovnice vyšších řádů. Řešení lineárních rovnic druhého řádu pomocí mocninných řad. Besselova rovnice a Besselovy funkce.
II. Existence a jednoznačnost řešení systémů diferenciálních rovnic prvního řádu. Lineární systémy obyčejných diferenciálních rovnic. Obecné vlastnosti řešení a jeho struktura. Přenosová matice. Řešení počáteční úlohy užitím přenosové matice. Lineární systémy s konstantními koeficienty (homogenní systémy - eliminační metoda, metoda charakteristických čísel, využití exponenciály matice, Putzerův algoritmus řešení, nehomogenní systémy - metoda neurčitých koeficientů, metoda variace konstant). Popis elektrických obvodů lineárními systémy.
III. Stabilita řešení systémů diferenciálních rovnic. Autonomní systémy. Ljapunovova přímá metoda pro autonomní systémy. Ljapunovovská funkce. Ljapunovova přímá metoda pro neautonomní systémy. Stabilita lineárních systémů. Hurwitzovo kritérium. Michajlovovo kritérium. Stabilita podle lineární aproximace. Fázová analýza lineárního dvourozměrného autonomního systému s konstantními koeficienty a případy stability.
IV. Parciální diferenciální rovnice prvního řádu. Počáteční úloha. Nejjednodušší typy rovnic. Charakteristický systém. Existence řešení. Obecné řešení. První integrály. Pfaffova rovnice.
V. Parciální diferenciální rovnice druhého řádu. Klasifikace rovnic. Transformace proměnných. Vlnová rovnice, D’Alembertův vzorec. Rovnice vedení tepla, Dirichletova úloha. Laplaceova rovnice. Řešení Fourierovou metodou separace proměnných a aplikace Fourierových řad.

Diferenciální rovnice jsou páteří mnoha oblastí inženýrských věd. Cílem kursu je vytvořit základní představy o vlastnostech řešení diferenciálních rovnic, vyložit základní techniky a metody jejich řešení. Úkolem kursu je nejenom seznámit s některými přesnými metodami řešení diferenciálních rovnic (např. s metodou řešení lineárních systémů s konstantními koeficienty pomocí exponenciály matice, s metodami pro řešení některých typů parciálních diferenciálních rovnic - Fourierova metoda a aplikace Fourierových řad, D'Alembertova metoda), ale také ukázat na možnosti získání přibližných informací o vlastnostech řešení (např.při zjišťování stability řešení). Metody jsou ilustrovány na konkrétních příkladech z elektrotechniky.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.
Nutnými podmínkami k udělení zápočtu jsou - pravidelná účast na cvičeních, nenulové hodnocení půlsemestrální písemné práce a úspěšný závěrečný písemný test.

Amaranath, T, An Elementary Course in Partial Differential Equations, Narosa Publ. House, 1997.
DIBLÍK, J., BAŠTINEC, J., HLAVIČKOVÁ, I. Diferenciální rovnice a jejich použití v elektrotechnice. 1 vyd. Brno: FEKT VUT, 2005. s. 1 - 174 . ISBN MAT502
Diblík, J., Přibyl, O., Obyčejné diferenciální rovnice, Akademické vydavatelství Cerm, Brno, 150 str., 2004
Farlow, J. Stanley, An Introduction to Differential Equations and Their Applications, McGraw-Hill, Inc., 609 pp., 1994
I.P.Stavroulakis, S.A. Tersian, Partial Differential Equations, An Introduction with Mathematica and Maple, World Scientific, 2004, ISBN 981-238-815-X
Kuben, J., Obyčejné dferenciální rovnice, VA Brno, 2004
Kuben, J., Obyčejné diferenciální rovnice, UN OB v Brně, katedra matematiky 2003 (skriptum).
Ráb, M., Metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, Brno, 1998, 96str.
Zill, Dennis, G., A first course in differential equations, 5. ed., PWS-Kent Publishing Company, 598 pp., 1993

Angot, A., Užitá matematika pro elektrotechnické inženýry, SNTL, SVTL, 1972.
Aramanovič, I.G., Lunc, G.L., Elsgolc, L.E., Funkcie komlexnej premennej, operátorový počet, teória stability, Alfa, Bratislava, SNTL Praha, 1973
Mayer, D., Úvod do teorie elektrických obvodů, SNTL, ALFA, 1978.
Myslík, J., Elektrické obvody, BEN - Technická literatura, Praha 1997