Detail předmětu

Matematika III

FSI-3M-AAk. rok: 2018/2019

Předmět má seznámit studenty se základy teorie nekonečných řad a se základními pojmy a metodami řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Tyto poznatky tvoří nezbytný teoretický základ pro studium fyzikálních a inženýrských disciplin. Předmět zahrnuje následující témata:
Nekonečné řady. Číselné řady. Funkční řady. Mocninné řady.
Taylorovy řady a rozvoje funkcí v Taylorovy řady. Fourierovy řady a rozvoje funkcí ve Fourierovy řady.
Obyčejné diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice prvního řádu.
Lineární diferenciální rovnice vyšších řádů. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu.
Parciální diferenciální rovnice. Klasifikace.

Jazyk výuky

angličtina

Počet kreditů

8

Garant předmětu

prof. RNDr. Jan Čermák, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Nabízen zahraničním studentům

Všech fakult

Výsledky učení předmětu

Studenti získají po absolvování předmětu znalosti o základních typech
diferenciálních rovnic. Na vybraných úlohách se seznámí s konstrukcí
diferenciální rovnice jako matematického modelu dané úlohy, s problémy
existence a jednoznačnosti jejího řešení a s výběrem vhodné metody
řešení. Naučí se posuzovat otázky konvergence nekonečných řad
a možnosti rozvojů funkcí v Taylorovy a Fourierovy řady.

Prerekvizity

Lineární algebra, diferenciální a integrální počet funkce jedné a více proměnných.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.

Způsob a kritéria hodnocení

Podmínky udělení zápočtu: Aktivní účast ve cvičení. Splnění všech
podmínek průběžné kontroly znalostí. Získání minimálně poloviny všech možných 20 bodů
z obou kontrolních prací, z nichž první se koná v osmém a
druhá ve třináctém výukovém týdnu. Pokud student tuto podmínku
nesplní, lze v odůvodněných případech stanovit podmínku náhradní.

Zkouška: Zkouška prověřuje znalosti definic a vět (zejména schopnost
jejich užití na vybraných úlohách) a praktickou dovednost při řešení
příkladů. Zkouška je písemná (příp. i ústní). Písemná zkouška se skládá z testové části (8 příkladů) a praktické části (4 příklady).
Témata testové části: Číselné a funkční řady, Fourierovy řady, ODR a jejich vlastnosti, řešení ODR metodou nekonečných řad a pomocí Laplaceovy transformace, jednoduchá fyzikální úloha, základy teorie PDR.
Témata praktické části: Rozvoj dané funkce do Taylorovy řady, řešení ODR 1. řádu, řešení lineární ODR vyššího řádu, řešení soustavy lineárních ODR 1. řádu.
Do klasifikačního hodnocení se zahrnuje výsledek písemné zkoušky (maximálně 75 bodů), hodnocení ze cvičení (maximálně 20 bodů) a hodnocení ze cvičení s počítačovou podporou (maximálně 5 bodů).
Klasifikační hodnocení studenta: výborně (90-100 bodů), velmi dobře
(80-89 bodů), dobře (70-79 bodů), uspokojivě (60-69 bodů), dostatečně (50-59 bodů), nevyhovující (0-49 bodů).

Učební cíle

Cílem předmětu je seznámit studenty se základními pojmy a metodami
řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic a se
základy teorie nekonečných řad. Úkolem předmětu je ukázat, že
poznatky z teorie diferenciálních rovnic se uplatňují zejména
ve fyzice a technických vědních oborech, a že základní znalosti
nekonečných řad jsou předpokladem při řešení rozličných úloh.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Účast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je kontrolovaná. Výuka probíhá dle týdenních plánů rozvrhů. Stanovení způsobů náhrady zmeškané výuky je v kompetenci vedoucího cvičení.

Základní literatura

Hartman, P.: Ordinary Differential Equations, New York, 1964.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program B3S-A bakalářský

    obor B-STI , 2 ročník, zimní semestr, povinný

  • Program B3S-Z bakalářský

    obor B-STI , 1 ročník, zimní semestr, doporučený kurs

  • Program M2I-Z magisterský navazující

    obor M-STI , 1 ročník, zimní semestr, doporučený kurs

  • Program M2I-A magisterský navazující

    obor M-AIŘ , 1 ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. Aleksandre Lomtatidze, DrSc.

Osnova

1. Číselné řady. Kritéria konvergence. Absolutní a neabsolutní konvergence.
2. Funkční a mocninné řady. Typy konvergence a základní vlastnosti.
3. Taylorovy řady a rozvoje funkcí v Taylorovy řady.
4. Fourierovy řady. Otázky konvergence a rozvoje funkcí.
5. ODR. Základní pojmy. Analytické metody řešení ODR 1. řádu. Existence a jednoznačnost řešení.
6. ODR vyššího řádu. Vlastnosti a metody řešení homegenní lineární ODR vyššího řádu.
7. Vlastnosti a metody řešení nehomogenní lineární ODR vyššího řádu.
8. Laplaceova transformace a její užití při řešení lineární ODR.
9. Soustavy ODR 1. řádu. Vlastnosti a metody řešení homogenních lineárních soustav 1. řádu.
10. Vlastnosti a metody řešení nehomogenních lineárních soustav 1. řádu
11. Stabilita řešení ODR. Okrajový problém pro ODR 2. řádu.
12. PDR. Základní pojmy.
13. Klasifikace PDR 2. řádu a základní metody řešení.


Cvičení

39 hod., povinná

Vyučující / Lektor

prof. Aleksandre Lomtatidze, DrSc.

Osnova

1. Limity a integrály-opakování.
2. Číselné řady.
3. Funkční a mocninné řady.
4. Taylorovy řady.
5. Fourierovy řady.
6. Analytické metody řešení ODR 1. řádu.
7. Pokračování předcházejícího cvičení.
8. Homogenní lineární ODR vyššího řádu.
9. Nehomogenní lineární ODR vyššího řádu.
10. Laplaceova transformace při řešení lineárních ODR.
11. Homogenní soustavy lineárních ODR 1. řádu.
12. Nehomogenní soustavy lineár. ODR 1. řádu.
13. Fourierova metoda řešení PDR.

Cvičení s počítačovou podporou

13 hod., povinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Jan Čermák, CSc.

Osnova

Probíhá na bázi programu MAPLE v počítačové učebně. Tento typ výuky je zaměřen na počítačovou podporu zejména následujících témat: 1. Opakování a prohloubení základních dovedností v MAPLE. 2. Funkční řady - grafické ilustrace typů konvergence u probíraných řad (se zaměřením na řady Taylorovy a Fourierovy). 3. ODR1 - geometrická interpretace jednotlivých typů řešení, grafické metody řešení (směrová pole). 4. ODR1 - aplikace (ortogonální trajektorie a další). 5. ODRn - grafická interpretace řešení, metoda Taylorových řad. 6. Soustavy ODR1 - grafická interpretace řešení, fázový portrét řešení. 7. PDR - vybrané metody řešení.