Detail předmětu

Diskrétní matematika

FEKT-BPC-DMAAk. rok: 2019/2020

Množina, relace a zobrazení. Ekvivalence a rozklady. Uspořádání. Struktury s jednou a dvěma operacemi. Svazy a Boolovy algebry. Sémantika a syntaxe výrokového počtu v kontextu tříd formulí predikátového počtu. Normální tvary formulí. Základní pojmy teorie grafů. Souvislost grafů. Podgrafy a morfismy grafů. Problém rovinnosti. Stromy a jejich vlastnosti. Jednoduché grafové algoritmy.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

6

Garant předmětu

doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (UMAT)

Výsledky učení předmětu

Studenti získají potřebné znalosti z diskrétní matematiky a schopnost orientace v souvisejících matematických strukturách.

Prerekvizity

Je požadováno zvládnutí učiva předmětu BMA1 Matematika 1. Absolvování předmětu BMAS Matematický seminář je doporučeno.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT.

Způsob a kritéria hodnocení

Hodnocení studia je založeno na bodovacím systému. Pro úspěšné absolvování předmětu je nutno dosáhnout 50 bodů. Zkouška z předmětu bude probíhat distančně.

Osnovy výuky

1. Formální jazyk matematiky. Intuitivní množinové pojmy. Základní množinové operace. Množinové mohutnosti. Číselné množiny.
2. Kombinatorické vlastnosti množin. Princip inkluze a exkluze. Techniky důkazů a jejich ilustrace.
3. Binární relace a zobrazení. Skládání relací a zobrazení. Vlastnosti zobrazení.
4. Abstraktní prostory. Spojitost a nespojitost.
5. Reálné funkce a jejich vlastnosti. Rekurzívně definované funkce.
6. Další vlastnosti binárních relací. Reflexivní, symetrický a transitivní uzávěr. Ekvivalence a rozklady.
7. Uspořádání, zvláště svazové. Hasseovské diagramy.
8. Algebry s jednou a dvěma operacemi a jejich morfismy. Grupy a tělesa. Svaz jako množina se dvěma operacemi. Booleova algebra.
9. Hlavní vlastnosti a zákony Boolových algeber. Dualita a množinová reprezentace konečných Boolových algeber.
10. Třídy formulí výrokového a predikátového počtu. Interpretace a klasifikace formulí. Boolova algebra neekvivalentních formulí. Syntaxe. Věta o kompaktnosti. Normální tvary formulí.
11. Grafy a jejich různé reprezentace. Sledy, tahy a cesty. Algoritmus nalezení nejkratší cesty. Souvislost grafů.
12. Podgrafy. Izomorfismus a homeomorfismus grafů. Eulerovské a hamiltonovské grafy. Problém rovinnosti.
13. Stromy, kostry a jejich vlastnosti. Binární stromy a jejich prohledávání. Tok v orientovaném grafu.

Učební cíle

Předmět poskytuje základní znalosti z matematiky potřebné pro řadu navazujících předmětů. Studenti se seznámí s elementárními poznatky z algebry a diskrétní matematiky, s důrazem na matematické struktury, které jsou potřebné pro pozdější aplikace v informačních a komunikačních technologiích.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Absolvování cvičení ve stanoveném rozsahu.

Základní literatura

Johnsonbaugh, R., Discrete mathematics, Macmillan Publ. Comp., New York, 1984. (EN)
Kolář, J., Štěpánková, O., Chytil, M., Logika, algebry a grafy, STNL, Praha 1989. (CS)
Kolibiar, M. a kol., Algebra a príbuzné disciplíny, Alfa, Bratislava, 1992. (CS)
Preparata, F.P., Yeh, R.T., Úvod do teórie diskrétnych štruktúr, Alfa, Bratislava, 1982. (CS)

Doporučená literatura

Acharya D. P., Sreekumar, Fundamental Approach to Discrete Mathematics, New Age International Publishers, New Delhi, 2005. (EN)
Anderson I., A First Course in Discrete Mathematics, Springer-Verlag, London 2001. (EN)
Garnier R.,  Taylor J., Discrete Mathematics for New Technology, Institute of Physics Publishing, Bristol and Philadelphia 2002. (EN)
Grimaldi R. P., Discrete and Combinatorial Mathematics, Pearson Addison Valley, Boston 2004. (EN)
Grossman P., Discrete mathematics for computing, Palgrave Macmillan, New York 2002. (EN)
Chartrand G., Zhang Ping, Discrete Mathematics, Waveland Pr Inc, 2011. (EN)
Kolman B., Busby R. C., Ross S. C., Discrete Mathematical Structures, Pearson Education, Hong-Kong 2001. (EN)
Lipschutz, S., Lipson, M.L., Theory and Problems of Discrete Mathematics, McGraw-Hill, New York, 1997. (EN)
Lovász L., Pelikán J., Vesztergombi, Discrete Mathematics, Springer-Verlag, New York 2003. (EN)
Matoušek J., Nešetřil J., Invitation to Discrete Mathematics, Oxford University Press, Oxford 2008. (EN)
Matoušek J., Nešetřil J., Kapitoly z diskrétní matematiky, Karolinum, Praha 2000. (EN)
O'Donnell, J., Hall C., Page R., Discrete Mathematics Using a Computer, Springer-Verlag, London 2006. (EN)
Rosen, K. H. et al., Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics, CRC Press, Boca Raton 2000. (EN)
Rosen, K.H., Discrete Mathematics and its Applications, AT & T Information systems, New York 1988. (EN)
Ross, S. M. Topics in Finite and Discrete Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge 2000. (EN)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program BPC-IBE bakalářský 1 ročník, letní semestr, povinný

  • Program EEKR-CZV celoživotní vzdělávání (není studentem)

    obor ET-CZV , 1 ročník, letní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D.

Osnova

Formální jazyk matematiky. Intuitivní množinové pojmy. Základní množinové operace. Množinové mohutnosti. Číselné množiny. Kombinatorické vlastnosti množin. Princip inkluze a exkluze. Techniky důkazů a jejich ilustrace.
Binární relace a zobrazení. Skládání relací a zobrazení. Vlastnosti zobrazení. Indexované systémy množin a jejich zobrazení. Abstraktní prostory. Reálné funkce a jejich vlastnosti. Spojitost a nespojitost. Rekurzívně definované funkce.
Další vlastnosti binárních relací. Reflexivní, symetrický a transitivní uzávěr. Ekvivalence a rozklady. Uspořádání, zvláště svazové. Hasseovské diagramy.
Algebry s jednou a dvěma operacemi a jejich morfismy. Grupy a tělesa. Svaz jako množina se dvěma operacemi. Booleova algebra.
Hlavní vlastnosti a zákony Boolových algeber. Dualita a množinová reprezentace konečných Boolových algeber.
Formule a sémantika výrokového počtu. Interpretace a klasifikace formulí. Boolova algebra neekvivalentních formulí. Syntaxe výrokového počtu. Věta o kompaktnosti. Normální tvary formulí.
Matice a maticové operace. Determinant čtvercové matice. Inverzní a adjungovaná matice. Metody výpočtu determinantu.
Vektorový prostor a jeho podprostory. Báze a dimenze. Vyjádření vektoru v bázi. Transformace souřadnic. Lineární zobrazení vektorových prostorů.
Soustavy lineárních rovnic. Gaussova eliminace. Frobeniova věta. Cramerovo pravidlo.
Skalární a unitární součin. Ortonormální systémy vektorů. Ortogonální průmět vektoru do podprostoru. Vektorový a smíšený součin.
Grafy a jejich různé reprezentace. Sledy, tahy a cesty. Algoritmus nalezení nejkratší cesty. Souvislost grafů.
Podgrafy. Izomorfismus a homeomorfismus grafů. Eulerovské a hamiltonovské grafy. Problém rovinnosti.
Stromy, kostry a jejich vlastnosti. Binární stromy a jejich prohledávání. Tok v orientovaném grafu.

Cvičení odborného základu

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D.

Osnova

Budou procvičena témata z přednášek ve vhodném rozsahu.