čeština

Po absolvování kurzu bude student schopen:
• Pracovat s různými maticovými a vektorovými normami a provádět jejich odhady.
• Řešit systémy lineárních algebraických rovnic. Rozhodnout o tom, zda je možné daný systém řešit zadanou metodou.
• Najít kořeny nelineárních a algebraických rovnic s požadovanou přesností.
• Řešit soustavy nelineárních rovnic.
• Určit dominantní vlastní číslo matice.
• Najít všechna vlastní čísla matice. Rozhodnout o vhodnosti zadaného postupu při hledání vlastních čísel.
• Najít numerické řešení počáteční úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich systémy s požadovanou přesností.
• Najít numerické řešení parciální diferenciální rovnice druhého řádu. Umět pracovat s hraničními a vnitřními body systému.
• Vysvětlit podstatu metody konečných prvků a umět pomocí ní řešit úlohy na počítači.
• Zvolit vhodnou metodu pro zadaný typ úlohy a odhadnout rychlost konvergence u vybraných metod.
• Určit odhad přesnosti pro některé metody.

Jsou požadovány znalosti na úrovni bakalářského studia, tj. student musí být schopen pracovat s maticemi a vektory, zvládat výpočet determinantů, součinu matic a výpočet matice inverzní, znát grafy elementárních funkcí a způsoby jejich konstrukce, ovládat derivování a integrování základních funkcí, umět řešit základní typy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu.

Metody vyučování zahrnují přednášky a cvičení na počítači. Student odevzdává jeden samostatný projekt.

Studenti mohou získat:
až 40 bodů za počítačová cvičení, které mohou získat za písemný test ( max. 10 bodů) a až 30 bodů za zpracování samostatné úlohy (max. 15 bodů za program a max. 15 bodů za prezentaci a protokol),
až 60 bodů za písemnou semestrální zkoušku. Zadání pro zkoušku obsahuje teoretické i početní úlohy, které slouží pro ověření orientace studenta v problematice numerických metod a jejich použitelnosti. Proto se často vyskytují úkoly typu „upravit do konvergenčního tvaru“, bez nutnosti dopočítávat do konce.
Zkouška bude probíhat prezenčně i distančně.

1. Princip numerických metod, klasifikace a šíření chyb v numerickém procesu, zvyšování přesnosti výpočtu, Banachova věta o pevném bodu.
2. Řešení soustav lineárních rovnic: přehled finitních a iteračních metod řešení.
3. Přehled metod pro řešení nelineárních rovnic.
4. Algebraické rovnice a jejich vlastnosti, odhad polohy kořene, metody určení kořenů algebraických rovnic.
5. Řešení soustav nelineárních rovnic. Newtonova a iterační metoda pro soustavu rovnic.
6. Vlastní čísla. Určení dominantního vlastního čísla.
7. Řešení obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu. Základní pojmy, počáteční úloha, jednokrokové a vícekrokové metody řešení, metoda Taylorova rozvoje.
8. Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů. Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu a jejich řešení.
9. Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice a její řešení metodou konečných diferencí a konečných objemů.
10. Metoda konečných prvků pro obyčejnou diferenciální rovnici.
11. Parciální diferenciální rovnice. Základní pojmy, řešení parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu.
12. Klasifikace parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu. Řešení parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu metodou konečných diferencí.
13. Řešení parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu metodou konečných prvků.

Cílem předmětu je rozšířit a prohloubit u studentů základní orientaci v oblasti numerických metod a jejich aplikací pro řešení konkrétních problémů. Proto je velká pozornost věnována odvození některých postupů a metod a ukázkám jednak použití numerických metod a jednak objasnění omezenosti a ohraničenosti použití jednotlivých metod.

Počítačová cvičení jsou povinná. Řádně omluvenou neúčast lze nahradit zpracováním domácí úlohy, která je zaměřena na problematiku probíranou ve zameškaném cvičení.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.
Termín konání písemného testu je vyhlašován po dohodě se studenty minimálně týden před jeho konáním. Náhradní termín pro řádně omluvené studenty je obvykle v zápočtovém týdnu.

BAŠTINEC, J.; NOVÁK, M. Moderní numerické metody: sbírka příkladů. Brno: FEKT, VUT v Brně, 2011.