Detail předmětu

Matematika 2

FEKT-KMA2Ak. rok: 2019/2020

Diferenciální počet funkce více proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice, základní pojmy, analytické metody řešení, příklady užití diferenciálních rovnic. Diferenciální počet v komplexním oboru, derivace funkce, Cauchy-Riemannovy podmínky, holomorfní funkce. Integrální počet v komplexním oboru, Cauchyova věta, Cauchyův vzorec, Laurentova řada, singulární body, residuová věta. Laplaceova transformace, praktické aplikace. Fourierovy řady. Z-transformace, diskrétní systémy, diferenční rovnice.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

6

Garant předmětu

doc. RNDr. Edita Kolářová, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (UMAT)

Výsledky učení předmětu

Absolvent předmětu je schopen:

- spočítat parciální derivace funkce více proměnných a používat vzorce na gradient a tečnu ke grafu funkce více proměnných;
- rozlišit separovatelné a lineární diferenciální rovnice a také je řešit;
- řešit lineární diferenciální rovnice vyššího řádu se speciální pravou stranou;
- určit z Cauchy Riemannových podmínek, zda je komplexní funkce holomorfní a holomorfní funkce derivovat;
- počítat integrál přes křivku z komplexní funkce pomoci definice, aplikovat Cauchyovou větu na integrál z holomorfní funkce;
- určovat póly a počítat rezidua v pólech 1.-ho i vyššího řádu, aplikovat reziduovou větu na integrál z meromorfní funkce;
- řešit diferenciální rovnice pomoci Laplaceovy transformace;
- najít reálnou Fourierovou řadu sudé, liché a obecné funkce, rozvinout funkci v sinovou ev. koninovou řadu;
- řešit diferenční rovnice pomoci Z - transformace.

Prerekvizity

Z předchozího studia matematiky by měl být student schopen:
- upravovat zlomky, řešit kvadratickou rovnici;
- aplikovat základní principy integrálního a diferenciálního počtu funkce jedné proměnné;
- umět sečíst geometrickou řadu s kvocientem |q|<1;
- používat metodu per partes pro určitý integrál.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT.

Způsob a kritéria hodnocení

Maximálně 20 bodů za samostatné práce během semestru (aspoň 5 bodů pro zápočet); maximálně 80 bodů za písemnou zkoušku.
Zkouška je zaměřena na ověření znalosti v problematice řešení diferenciálních rovnic, derivovani a integrování funkce komplexní proměnné, rozvoje funkce v Forierovou řadu a použití Laplaceovy a Z-transformace.

Osnovy výuky

1. Diferenciální počet funkce více proměnných.
2. Obyčejné diferenciální rovnice, základní pojmy.
3. Řešení lineární diferenciální rovnice prvního řádu.
4. Homogénní lineární diferenciální rovnice vyššího řádu.
5. Řešení nehomogénní lineární diferenciální rovnice vyššího řádu s konstantními koeficienty.
6. Diferenciální počet v komplexním oboru, derivace funkce,
7. Cauchy-Riemannovy podmínky, holomorfní funkce.
8. Integrální počet v komplexním oboru, Cauchyova věta, Cauchyův vzorec,
9. Laurentova řada, singulární body.
10. Residuová věta.
11. Laplaceova transformace, pojem konvoluce, praktické aplikace.
12. Fourierova transformace, souvislost s Laplaceovou transformací, ukázky použití.
13. Z-transformace, diskrétní systémy, diferenční rovnice.

Učební cíle

Seznámit studenty v první části s některými metodami řešení obyčejných diferenciálních rovnic a v druhé části s Laplaceovou, Fourierovou a Z-transformací.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Tutoriály nejsou povinné.

Základní literatura

Kolářová E: Matematika 2 - Sbírka úloh (CS)
Svoboda Z., Vítovec J.: Matematika 2 (CS)

Doporučená literatura

Melkes F., Řezáč M.: Matematika 2 (CS)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program IBEP-TZ bakalářský

    obor TZ-IBP , 1 ročník, letní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Edita Kolářová, Ph.D.

Osnova

1. Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu (separovatelná rovnice, lineární rovnice, metoda variace konstanty).
2. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty.
3. Funkce komplexní proměnné - transformace komplexní roviny.
4. Derivace komplexní funkce, Cauchy-Riemannovy podmínky, holomorfní funkce.
5. Základní transcendentní funkce, aplikace na elektrostatické pole.
6. Integrální počet v komplexním oboru, Cauchyova věta, Cauchyův vzorec.
7. Laurentova řada, singulární body a jejich klasifikace, pojem rezidua a reziduová věta.
8. Přímá Laplaceova transformace, pojem konvoluce, gramatika transformace.
9. Zpětná Laplaceova transformace, impulzy, elektrické obvody.
10. Fourierovy řady, trigonometrický a exponenciální tvar, základní vlastnosti.
11. Přímá a zpětná Fourierova transformace, souvislost s Laplaceovou transformací, šířka impulzu a šířka spektra.
12. Přímá a zpětná transformace Z.
13. Použití Z transformace při řešení diferenčních rovnic.

Cvičení s počítačovou podporou

14 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Edita Kolářová, Ph.D.

Osnova

Osnova dle přednášky.