Detail předmětu

Pokročilá matematika

FIT-IAMAk. rok: 2020/2021

Předmět navazuje na povinné matematické předměty bakalářského studia. Práce s matematickým aparátem je demonstrována spolu s prohloubením znalostí oblastí matematiky úzce souvisejících s informatikou a s ukázkou jejich aplikací v informatice. Jedná se zejména o teorii čísel a její aplikaci v kryptografii; základy teorie množin a logiky, vybrané logické systémy, techniky a rozhodovací procedury s aplikací např. v databázích či softwarovém inženýrství; teorii svazů, pevných bodů, a jejich aplikace ve verifikaci; pravděpodobnost a statistiku a aplikace v analýze pravděpodobnostních systémů a umělé inteligenci.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

5

Garant předmětu

doc. Mgr. Lukáš Holík, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav inteligentních systémů (UITS)

Výsledky učení předmětu

Schopnost matematické formulace, řešení problémů pomocí matematického aparátu, zejména dokazování, prohloubení a procvičení základních matematických pojmů, přehled o některých pro informatiku stěžejních oblastech matematiky a jejich aplikacích v informatice.
Rozvinutí schopnosti exaktně se vyjadřovat a používat matematický aparát.

Prerekvizity

Základní pojmy o relacích, množinách, základy výrokové a predikátové logiky, základy algebry, základy konečných automatů.

Způsob a kritéria hodnocení

Dva testy - v polovině a v závěru semestru (25 bodů za test), aktivita na cvičeních (5 bodů za každé cvičení).
Podmínky zápočtu:
Získání 50 ze 100 možných bodů, udělovaných za aktivity v průběhu cvičení a docházku (50 bodů), průběžné testy (50 bodů).

Učební cíle

  • Prohloubit schopnosti aplikace matematického aparátu ve vyjadřování, formulaci a řešení problémů a posílit schopnosti exaktního vyjadřování a myšlení obecně,
  • rozvinout některé partie matematiky s těsnou vazbou na informatiku a ukázat souvislost s informatikou,
  • usnadnit studium matematických předmětů v navazujícím magisterském studiu,
  • přesvědčit se na vlastní oči, jak komplikovaná matematika může vést k velmi užitečným algoritmům a nástrojům.

Prerekvizity a korekvizity

Základní literatura

A.R. Bradley, Z. Manna. The Calculus of Computation. Springer, 2007.
D. P. Bertsekas, J. N. Tsitsiklis. Introduction to Probability, Athena Scientific, 2008.
M. Huth, M. Ryan. Logic in Computer Science. Modelling and Reasoning about Systems. Cambridge University Press, 2004.

Doporučená literatura

A. Doxiadis, C. Papadimitriou. Logicomix: An Epic Search for Truth. Bloomsbury, 2009.
B. Balcar, P. Štěpánek. Teorie množin. Academia, 2005.
C. M. Grinstead, J. L. Snell. Introduction to probability. American Mathematical Soc., 2012.
G. Chartrand, A. D. Polimeni, P. Zhang. Mathematical Proofs: A Transition to Advanced Mathematics, 2013
R. Smullyan. First-Order Logic. Dover, 1995.
Steven Roman. Lattices and Ordered Sets, Springer-Verlag New York, 2008.

Elearning

eLearning: aktuální otevřený kurz

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program IT-BC-3 bakalářský

    obor BIT , 2 ročník, letní semestr, volitelný

  • Program BIT bakalářský 2 ročník, letní semestr, volitelný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Ing. Ondřej Lengál, Ph.D.
doc. RNDr. Milan Češka, Ph.D.
doc. RNDr. Dana Hliněná, Ph.D.
doc. Mgr. Lukáš Holík, Ph.D.

Osnova

  1. Axiomy teorie množin, axiom výběru. Spočetné a nespočetné množiny, kardinální čísla. (Dana Hliněná)
  2. Aplikace teorie čísel v kryptografii. (Dana Hliněná)
  3. Teorie čísel: prvočísla, dělitelnost, kongruence, Fundamentální věta aritmetiky, Malá Fermatova věta, Eulerova funkce. (Dana Hliněná)
  4. Výroková logika. Syntaxe, sémantika. Důkazové metody pro výrokovou logiku: metoda sémantických tabulek, přirozená dedukce, rezoluce. (Ondřej Lengál)
  5. Predikátová logika. Syntaxe, sémantika prvořádové predikátové logiky. Důkazové metody pro predikátovou logiku: metoda sémantických tabulek, přirozená dedukce. (Ondřej Lengál)
  6. Predikátová logika. Craigova interpolace. Důležité teorie. Nerozhodnutelnost. Predikátová logika vyššího řádu. (Ondřej Lengál)
  7. Hoarova logika. Precondition, postcondition. Invariant. Deduktivní verifikace programů. (Ondřej Lengál)
  8. Logické rozhodovací procedury: Klasické rozhodovací procedury pro aritmetiku nad celými a racionálními čísly. (Lukáš Holík)
  9. Automatové rozhodovací procedury pro aritmetiku a WS1S. (Lukáš Holík)
  10. Rozhodovací procedury pro kombinované teorie. (Lukáš Holík)
  11. Stochastické procesy. Modelování pravděpodobnostních systémů pomocí Markovských řetězců diskrétního času. (Milan Češka)
  12. Analýza Markovských řetězců (model checking). Demonstrace nástroje PRISM. (Milan Češka)
  13. Rozšíření Markovských řetězců o nedeterminismus, Markovské řetězce ve spojitém čase. Skryté Markovské řetězce. (Milan Češka)

Cvičení odborného základu

18 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Milan Češka, Ph.D.
doc. Mgr. Lukáš Holík, Ph.D.
doc. RNDr. Dana Hliněná, Ph.D.
Ing. Ondřej Lengál, Ph.D.
Ing. Roman Andriushchenko

Osnova

  1. Důkazy v teorii množin, Cantorova diagonalizace, párování, Hilbertův hotel.
  2. Prvočísla a kryptografie, RSA a DSA šifry.
  3. Důkazové úlohy v teorii čísel, Čínská věta o zbytcích.
  4. Důkazové metody pro výrokovou logiku.
  5. Důkazové metody pro predikátovou logiku.
  6. Rozhodovací procedury.
  7. Počítačové cvičení 1.
  8. Počítačové cvičení 2.
  9. Automatové rozhodovací procedury a kombinované teorie.
  10. Počítačové cvičení 3.
  11. Modelování pravděpodobnostních systémů.
  12. Analýza Markovských řetězců.
  13. Počítačové cvičení 4.

Cvičení na počítači

8 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Dana Hliněná, Ph.D.
Ing. Ondřej Lengál, Ph.D.
doc. RNDr. Milan Češka, Ph.D.
doc. Mgr. Lukáš Holík, Ph.D.
Ing. Roman Andriushchenko

Osnova

  1. Důkazy korektnosti programů v systému VCC.
  2. Solvery - SAT, SMT.
  3. Solvery - Mona, Vampire.
  4. Analýza pravděpodobnostních systémů pomocí nástroje PRISM.

Elearning

eLearning: aktuální otevřený kurz