Detail předmětu
Matematické metody v teorii proudění
FSI-SMM-AAk. rok: 2020/2021
Fyzikální základy mechaniky tekutin: zákony zachování hmoty, hybnosti a energie. Vlastnosti hyperbolických rovnic, speciálně Eulerových rovnic popisujících proudění neviskózních stlačitelných tekutin. Numerické modelování Eulerových rovnic metodou konečných objemů a nespojitou Galerkinovou metodou. Nespojitá Galerkinova metoda pro stlačitelné viskózní proudění. Numerické modelování nestlačitelných viskózních tekutin metodou tlakových korekcí (algoritmus SIMPLE) a metodou konečných prvků.
Jazyk výuky
angličtina
Počet kreditů
4
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Výsledky učení předmětu
Studenti se seznámí se základními postupy modelování proudění tekutin: fyzikální zákony, matematická analýza rovnic popisujících proudění tekutin (Eulerovy a Navierovy-Stokesovy rovnice), volba vhodné numerické metody (která vychází z fyzikální a matematické podstaty rovnic) a počítačové modelování navržené numerické metody (preprocesing = tvorba sítě, numerický řešič, postprocesing = zobrazení žádáných fyzikálních veličin). Získané znalosti si studenti ověří a prohloubí zpracováním semestrálního projektu.
Prerekvizity
Parciální diferenciální rovnice evolučního typu, funkcionální analýza, numerické metody řešení parciálních diferenciálních rovnic.
Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení
PODMÍNKY PRO UDĚLENÍ ZÁPOČTU: Účast ve cvičeních, zpracování semestrální práce, ve kterých studenti zúročí poznatky získané na přednáškách. Student, který dostane zápočet, získá také bodové ohodnocení v rozsahu 0 až 30 bodů, které se mu započítá do výsledné klasifikace předmětu.
ZKOUŠKA je ústní. Za zkoušku student obdrží 0 až 70 bodů.
CELKOVÉ HODNOCENÍ: Výsledné bodové hodnocení je součtem bodů získaných od cvičícího (0--30) a od zkoušejícího (0--70).
KLASIFIKACE: 100--90: A (výborně), 89--80: B (velmi dobře), 79--70: C (dobře), 69--60: D (uspokojivě), 59--50: E (dostatečně), 49--0: F (nevyhovující).
HODNOCENÍ je plně v kompetenci zkoušejícího. Jestliže úspěšnost měříme v procentních bodech, pak je klasifikace provedena takto: 100--90: A (výborně), 89--80: B (velmi dobře), 79--70: C (dobře), 69--60: D (uspokojivě), 59--50: E (dostatečně), 49--0: F (nevyhovující).
ZKOUŠKA je ústní. Za zkoušku student obdrží 0 až 70 bodů.
CELKOVÉ HODNOCENÍ: Výsledné bodové hodnocení je součtem bodů získaných od cvičícího (0--30) a od zkoušejícího (0--70).
KLASIFIKACE: 100--90: A (výborně), 89--80: B (velmi dobře), 79--70: C (dobře), 69--60: D (uspokojivě), 59--50: E (dostatečně), 49--0: F (nevyhovující).
HODNOCENÍ je plně v kompetenci zkoušejícího. Jestliže úspěšnost měříme v procentních bodech, pak je klasifikace provedena takto: 100--90: A (výborně), 89--80: B (velmi dobře), 79--70: C (dobře), 69--60: D (uspokojivě), 59--50: E (dostatečně), 49--0: F (nevyhovující).
Učební cíle
Předmět slouží jako úvodní seznámení s výpočtovými metodami pro modelování proudění tekutin. Pro stlačitelné proudění je vyložena metoda konečných objemů a nespojitá Galerkinova metoda, pro nestlačitelné proudění metoda tlakových korekcí a metoda konečných prvků. Studenti by měli pochopit, že teprve znalost podstatných fyzikálních a matematických aspektů jednotlivých typů proudění jim umožní efektivní volbu vhodné numerické metody resp. odpovídajícího softwarového produktu. Důležitou součástí předmětu je samostatná práce na zadaném projektu.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky
Účast na přednáškách je žádoucí, účast ve cvičeních je povinná. Výuka probíhá podle týdenních rozvrhů. Způsob náhrady zameškané výuky je plně v kompetenci cvičícího.
Základní literatura
E.F. Toro: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, A Practical Introduction, Springer, Berlin, 1999. (EN)
J.S. Hesthaven, T. Warburton: Nodal Discontinuous Galerkin Methods, Springer-Verlag New York, 2008. (EN)
M. Feistauer, J. Felcman, I. Straškraba: Mathematical and Computational Methods for Compressible Flow, Oxford University Press, 2003. (EN)
R.J. LeVeque: Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, 2002. (EN)
J.S. Hesthaven, T. Warburton: Nodal Discontinuous Galerkin Methods, Springer-Verlag New York, 2008. (EN)
M. Feistauer, J. Felcman, I. Straškraba: Mathematical and Computational Methods for Compressible Flow, Oxford University Press, 2003. (EN)
R.J. LeVeque: Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, 2002. (EN)
Doporučená literatura
J. Y. Murthy, S. R. Mathur: Numerical Methods in Heat, Mass and Momentum Transfer, Draft Notes ME 608, Purdue University, 2002,
http://widget.ecn.purdue.edu/~jmurthy/me608/main.pdf.
L. Čermák: Řešení Navierových-Stokesových rovnic metodou tlakových korekcí. http://mathonline.fme.vutbr.cz/Matematicke-metody-v-teorii-proudeni/sc-1230-sr-1-a-239
L. Čermák: Řešení nestlačitelného proudění tekutin metodou spektrálních prvků. http://mathonline.fme.vutbr.cz/Matematicke-metody-v-teorii-proudeni/sc-1230-sr-1-a-239
M. Lukacova-Medviďová: Mathematical methods in fluid dynamics, CERM, Brno, 2003.
L. Čermák: Řešení Navierových-Stokesových rovnic metodou tlakových korekcí. http://mathonline.fme.vutbr.cz/Matematicke-metody-v-teorii-proudeni/sc-1230-sr-1-a-239
L. Čermák: Řešení nestlačitelného proudění tekutin metodou spektrálních prvků. http://mathonline.fme.vutbr.cz/Matematicke-metody-v-teorii-proudeni/sc-1230-sr-1-a-239
M. Lukacova-Medviďová: Mathematical methods in fluid dynamics, CERM, Brno, 2003.
Elearning
eLearning: aktuální otevřený kurz
Zařazení předmětu ve studijních plánech
Typ (způsob) výuky
Přednáška
26 hod., nepovinná
Vyučující / Lektor
Osnova
1.Materiálová derivace, transportní věta, zákony zachování hmoty, hybností a energie.
2. Konstituční vztahy, stavové rovnice, Eulerovy a Navierovy-Stokesovy rovnice, počáteční a okrajové podmínky.
3. Akustické rovnice, problém dopravního proudu, problém mělké vody.
4. Hyperbolický problém, klasické a slabé řešení, nespojitosti v řešení.
5. Riemannův problém pro lineární a nelineární úlohu, klasifikace vln.
6. Metoda konečných objemů, lokální chyba, stabilita, konvergence.
7. Godunovova metoda, metody založené na rozkladu vektoru toku: numerický tok Vijayasundaram, Steger-Warming, Van Leer, Roe.
8. Okrajové podmínky, metody druhého řádu.
9. Nespojitá Galerkinova metoda pro stlačitelné neviskózní proudění: princip DGM, diskretizace 2D Eulerových rovnic.
10.Nespojitá Galerkinova metoda pro stlačitelné neviskózní proudění: elementární matice a vektory, sestavování, časová diskretizace.
11. Nespojitá Galerkinova metoda pro 2D stlačitelné viskózní proudění.
12. Metoda konečných objemů pro viskózní nestlačitelné proudění: algoritmus SIMPLE na pravidelné obdélníkové síti.
13. Metoda konečných objemů pro viskózní nestlačitelné proudění: algoritmus SIMPLE na nestrukturované síti.
2. Konstituční vztahy, stavové rovnice, Eulerovy a Navierovy-Stokesovy rovnice, počáteční a okrajové podmínky.
3. Akustické rovnice, problém dopravního proudu, problém mělké vody.
4. Hyperbolický problém, klasické a slabé řešení, nespojitosti v řešení.
5. Riemannův problém pro lineární a nelineární úlohu, klasifikace vln.
6. Metoda konečných objemů, lokální chyba, stabilita, konvergence.
7. Godunovova metoda, metody založené na rozkladu vektoru toku: numerický tok Vijayasundaram, Steger-Warming, Van Leer, Roe.
8. Okrajové podmínky, metody druhého řádu.
9. Nespojitá Galerkinova metoda pro stlačitelné neviskózní proudění: princip DGM, diskretizace 2D Eulerových rovnic.
10.Nespojitá Galerkinova metoda pro stlačitelné neviskózní proudění: elementární matice a vektory, sestavování, časová diskretizace.
11. Nespojitá Galerkinova metoda pro 2D stlačitelné viskózní proudění.
12. Metoda konečných objemů pro viskózní nestlačitelné proudění: algoritmus SIMPLE na pravidelné obdélníkové síti.
13. Metoda konečných objemů pro viskózní nestlačitelné proudění: algoritmus SIMPLE na nestrukturované síti.
Cvičení s počítačovou podporou
13 hod., povinná
Vyučující / Lektor
Osnova
Ukázky řešení vybraných modelových úloh na počítači. Vypracování semestrální práce.
Elearning
eLearning: aktuální otevřený kurz