Detail předmětu

Mathematical Analysis

FSI-UMA-AAk. rok: 2020/2021

Předmět má seznámit studenty se základy teorie integrálního počtu funkcí více proměnných, teorie křivkových a plošných integrálů, teorie funkčních řad a teorie diferenciálních rovnic. Tyto poznatky tvoří teoretický základ potřebný pro studium fyzikálních a inženýrských disciplín. Předmět zahrnuje následující témata: Vícerozměrné integrály. Křivkové integrály. Plošné integrály. Mocninné řady. Taylorovy řady. Fourierovy řady. Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Lineární diferenciální rovnice vyšších řádů. Parciální diferenciální rovnice.

Jazyk výuky

angličtina

Počet kreditů

7

Garant předmětu

prof. RNDr. Jan Čermák, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Nabízen zahraničním studentům

Pouze domovské fakulty

Výsledky učení předmětu

Studenti získají po absolvování předmětu znalosti z integrálního počtu funkcí více proměnných a z teorie křivkových a plošných integrálů. Budou schopni aplikovat tyto znalosti v různých úlohách mechaniky. Naučí se posuzovat otázky konvergence nekonečných řad a možnosti rozvojů funkcí v mocninné a Fourierovy řady. Studenti také zvládnou analyticky řešit soustavy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty a provést kvalitativní analýzu některých úloh pro soustavy nelineárních diferenciálních rovnic. Na vybraných úlohách se seznámí s konstrukcí diferenciální rovnice jako matematického modelu dané úlohy. Po absolvování kurzu budou mít studenti znalosti potřebné ke studiu fyziky, mechaniky a dalších technických disciplín.

Prerekvizity

Lineární algebra, diferenciální počet funkcí jedné a více proměnných, integrální počet funkcí jedné proměnné, posloupnosti a nekonečné číselné řady, základy funkčních řad, obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.

Způsob a kritéria hodnocení

Podmínky udělení zápočtu: Aktivní účast ve cvičení. Splnění všech podmínek průběžné kontroly znalostí. Získání minimálně poloviny všech možných bodů z obou kontrolních prací. Pokud student tuto podmínku nesplní, lze v odůvodněných případech stanovit podmínku náhradní.

Zkouška: Zkouška prověřuje znalosti definic a vět (zejména schopnost jejich užití na vybraných úlohách) a praktickou dovednost při řešení příkladů. Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Klasifikační hodnocení zohledňuje výsledky písemné a ústní části zkoušky a také hodnocení ze cvičení.

Klasifikační hodnocení studenta: výborně (90-100 bodů), velmi dobře
(80-89 bodů), dobře (70-79 bodů), uspokojivě (60-69 bodů), dostatečně (50-59 bodů), nevyhovující (0-49 bodů).

Učební cíle

Cílem předmětu je seznámit studenty se základy vícerozměrných, křivkových a plošných integrálů, základy Taylorových a Fourierových řad a představit základními pojmy a metody řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Úkolem předmětu je také ukázat, že poznatky z teorie integrálů, nekonečných řad a diferenciálních rovnic se uplatňují ve fyzice, technické mechanice i jiných oborech.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Účast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je povinná a kontrolovaná. Výuka probíhá dle týdenních plánů rozvrhů. Stanovení způsobů náhrady zmeškané výuky je v kompetenci vedoucího cvičení.

Základní literatura

W. E. Boyce, R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations, 9th Edition, Wiley, 2008. (EN)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program N-ENG-A magisterský navazující 1 ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Jiří Šremr, Ph.D.

Osnova

1. Vícerozměrné integrály. Fubiniho věta. Transformace integrálů.

2. Křivky. Křivkové integrály. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě. Greenova věta.

3. Plochy. Plošné integrály. Gaussova-Ostrogradského věta. Stokesova věta.

4. Mocninné řady. Taylorovy řady. Rozvoje funkcí v mocninné řady.

5. Trigonometrické Fourierovy řady. Konvergence a rozvoje funkcí.

6. Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic (ODR) prvního řádu. Základní pojmy. Počáteční úloha. Struktura množiny řešení.

7. Metody řešení homogenních soustav lineárních ODR s konstantními koeficienty.

8. Nehomogenní soustavy lineárních ODR. Metoda variace konstant. Cauchyův vzorec.

9. Lineární ODR vyšších řádů s konstantními koeficienty. Metody řešení.

10. Stabilita řešení ODR a jejich soustav. Laplaceova transformace a její použití pro ODR. Okrajové úlohy.

11. Numerické metody řešení ODR. Řešení ODR pomocí mocninných řad.

12. Parciální diferenciální rovnice (PDR). Zakladní pojmy. Klasifikace PDR druhého řádu.

13. Rovnice matematické fyziky. Metody řešení některých typů PDR.

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Jiří Šremr, Ph.D.

Osnova

1. Derivace a integrály - opakování.

2. Vícerozměrné integrály.

3. Křivkové integrály.

4. Plošné integrály.

5. Mocninné řady.

6. Fourierovy řady.

7. Analytické metody řešení soustav lineárních ODR.

8. Analytické metody řešení soustav lineárních ODR (pokračování).

9. Analytické metody řešení lineárních ODR vyšších řádů.

10. Analytické metody řešení lineárních ODR vyšších řádů (pokračování).

11. Stabilita řešení ODR. Laplaceova transformace.

12. Numerické metody řešení ODR.

13. Analytické metody řešení PDR.