Detail předmětu
Funkcionální analýza II
FSI-SU2-AAk. rok: 2020/2021
Opakování látky z Funkcionální analýzy I. Teorie ohraničených lineárních operátorů.
Kompaktní množiny a operátory. Inverze a pseudoinverze ohraničených lineárních operátorů.
Úplné systémy: ortonormální báze, Rieszovy báze a framy.
Spektrální teorie samoadjungovaných kompaktních operátorů.
Jazyk výuky
angličtina
Počet kreditů
3
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Výsledky učení předmětu
Znalost základů funkcionální analýzy, teorie prostorů a teorie lineárních operátorů. Znalost řešení úloh zejména v Hilbertových prostorech, znalost řešení úloh pomocí abstraktních Fourierových řad a Fourierovy transformace.
Prerekvizity
Diferenciální a integrální počet. Základy lineární algebry, Fourierovy analýzy a funkcionální analýzy.
Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení
Podmínkou k udělení zápočtu je aktivita na cvičení spočívající v řešení předepsaných úkolů/problémů, případně v samostatném hlubším zpracovaní vybraných témat.
Účast na cvičení je povinná. Zkouška v řádném termínu je písemná nebo ústní. Zkoušky v opravném nebo náhradním termínu pouze ústní. Cílem zkoušky je ověření základních teoretických znalostí studenta a jeho schopnosti získané poznatky samostatně a tvůrčím způsobem aplikovat.
Účast na cvičení je povinná. Zkouška v řádném termínu je písemná nebo ústní. Zkoušky v opravném nebo náhradním termínu pouze ústní. Cílem zkoušky je ověření základních teoretických znalostí studenta a jeho schopnosti získané poznatky samostatně a tvůrčím způsobem aplikovat.
Učební cíle
Seznámit posluchače s hlavními výsledky lineární funkcionální analýzy a jejich použitím při řešení úloh matematického modelovaní.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky
Při nepřítomnosti nutnost doplnit probíranou látku samostudiem případně domácími úkoly.
Základní literatura
A.E.Taylor: Úvod do funkcionální analýzy. Academia, Praha 1973.
A.N.Kolmogorov, S.V.Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL, Praha 1975.
Ch.Heil: A Basis Theory Primer, expanded edition, Birkhäuser, New York, 2011.
L.Debnath, P.Mikusinski: Introduction to Hilbert spaces with Applications. 2-nd ed., Academic Press, London, 1999.
V. Veselý a P. Rajmic. Funkcionálnı́ analýza s aplikacemi ve zpracovánı́ signálů. Odborná učebnice. Vysoké učenı́ technické v Brně, Brno (CZ), 2015. ISBN 978-80-214-5186-5.
A.N.Kolmogorov, S.V.Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL, Praha 1975.
Ch.Heil: A Basis Theory Primer, expanded edition, Birkhäuser, New York, 2011.
L.Debnath, P.Mikusinski: Introduction to Hilbert spaces with Applications. 2-nd ed., Academic Press, London, 1999.
V. Veselý a P. Rajmic. Funkcionálnı́ analýza s aplikacemi ve zpracovánı́ signálů. Odborná učebnice. Vysoké učenı́ technické v Brně, Brno (CZ), 2015. ISBN 978-80-214-5186-5.
Doporučená literatura
A.W.Naylor, G.R.Sell: Teória lineárnych operátorov v technických a prírodných vedách, Alfa, Bratislava 1971
A.Ženíšek: Funkcionální analýza II, skripta FSI VUT, PC-DIR, Brno 1999.
J. Kačur: Vybrané kapitoly z matematickej fyziky I, skripta MFF UK, Bratislava 1984.
L.A.Ljusternik, V.J.Sobolev: Elementy funkcionalnovo analiza,
A.Ženíšek: Funkcionální analýza II, skripta FSI VUT, PC-DIR, Brno 1999.
J. Kačur: Vybrané kapitoly z matematickej fyziky I, skripta MFF UK, Bratislava 1984.
L.A.Ljusternik, V.J.Sobolev: Elementy funkcionalnovo analiza,
Elearning
eLearning: aktuální otevřený kurz
Zařazení předmětu ve studijních plánech
Typ (způsob) výuky
Přednáška
26 hod., nepovinná
Vyučující / Lektor
Osnova
1. Opakování: topologické, metrické, normované lineární a prostory s vnitřním součinem, přímý součet a faktorprostor
2. Opakování: duální prostory, spojité lineární funkcionály, Hahn-Banachova věta, slabá konvergence
3. Opakování: Fourierovy řady, Fourierova transformace a konvoluce
4. Ohraničené lineární operátory a hlavní tvrzení o nich.
5. Adjungované a samodajungované operátory včetně ortogonální projekce
6. Rieszova věta o reprezentaci a Banach-Steinhausova věta
7. Unitární operátory, kompaktní množiny a kompaktní operátory
8. Inverze ohraničených lineárních operátorů v Banachově a Hilbertově prostoru
9. Pseudoinverze ohraničených lineárních operátorů v Hilbertově prostoru
10. Úplné systémy: ortonormální báze, Rieszovy báze a framy
11. Spektrální teorie samoadjungovaných kompaktních operátorů, Hilbertova-Schmidtova věta
12. Příklady a aplikace zejména z oblasti Fourierovy analýzy a zpracování signálů
13. Rezerva
2. Opakování: duální prostory, spojité lineární funkcionály, Hahn-Banachova věta, slabá konvergence
3. Opakování: Fourierovy řady, Fourierova transformace a konvoluce
4. Ohraničené lineární operátory a hlavní tvrzení o nich.
5. Adjungované a samodajungované operátory včetně ortogonální projekce
6. Rieszova věta o reprezentaci a Banach-Steinhausova věta
7. Unitární operátory, kompaktní množiny a kompaktní operátory
8. Inverze ohraničených lineárních operátorů v Banachově a Hilbertově prostoru
9. Pseudoinverze ohraničených lineárních operátorů v Hilbertově prostoru
10. Úplné systémy: ortonormální báze, Rieszovy báze a framy
11. Spektrální teorie samoadjungovaných kompaktních operátorů, Hilbertova-Schmidtova věta
12. Příklady a aplikace zejména z oblasti Fourierovy analýzy a zpracování signálů
13. Rezerva
Cvičení
13 hod., povinná
Vyučující / Lektor
Osnova
Opakování látky z Funkcionální analýzy I. a procvičování látky z přednášek samostatným řešením vybraných úloh a problémů.
Elearning
eLearning: aktuální otevřený kurz