Detail předmětu

Numerické úlohy s parciálními diferenciálními rovnicemi

FEKT-DTE2Ak. rok: 2020/2021

Obsah semináře sestává ze dvou navazujících celků. V první části jsou studovány základní metody numerického řešení parciálních diferenciálních rovnic (PDR), a to metoda konečných diferencí (MKD) a metoda konečných prvků (MKP). Těmito metodami a jejich kombinací jsou řešeny Laplaceova, Poissonova, Helmholtzova, difuzní a vlnová PDR, a to pro zadané okrajové počáteční podmínky a známé rozložení parametrů prostředí v uzavřené oblasti (dopředná úloha). Tuto část uzavírá numerické řešení kombinovaných úloh, jako je propojení elektromagnetického pole s obvody se soustředěnými parametry nebo několika vzájemně vázaných polí (teplotní, elektromagnetické, pružnost a pevnost, proudění).
Ve druhé části se uvedené metody aplikují jako součást různých iteračních procesů ke stanovení parametrů prostředí PDR ze změřených nebo zadaných vstupních dat. Je studováno teoretické i praktické využití numerických metod s PDE k řešení úloh optimalizačních (stanovení rozměrů a materiálů zařízení) a inverzních (různé varianty tomografie (impedanční, ultrazvuková, NMR). Jednotlivá témata budou doplněna praktickými výpočty v prostředí programů ANSYS a MATLAB.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

4

Garant předmětu

prof. Ing. Pavel Fiala, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav teoretické a experimentální elektrotechniky (UTEE)

Výsledky učení předmětu

Získat teoretické vědomosti o MKP a MKD a jejich aplikaci spolu se schopností samostatně programovat dopředné i inverzní úlohy.

Prerekvizity

Matematika, Fyzika, Elektromagnetismus na úrovni magisterského studia.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT. Metody vyučování zahrnují přednášky kombinované se semináři. Předmět využívá e-learning (Moodle).

Způsob a kritéria hodnocení

Celkové hodnocení předmětu 100 bodů.

Osnovy výuky

Úvod do funkcionální analýzy, diferenciální operátory, přehled parciálních diferenciálních rovnic, probíraných v kurzu, okrajové a počáteční podmínky.
Metoda konečných diferencí (MKD).
Metoda konečných prvků (MKP) – úvod. Diskretizace oblasti na konečné prvky. Aproximace polí z uzlových nebo hranových hodnot.
Dopředná úloha: Sestavení rovnic pro uzlové a hranové hodnoty Galerkinovou metodou.
Aplikace Galerkinovy metody na statická a kvazistatická pole (Poissonova a Helmholtzova rovnice).
Kombinace MKP a MKD pro časově proměnná pole (difuzní a vlnová rovnice). Spojení rovnice pole s obvodem se soustředěnými parametry.
Sdružené úlohy.
Optimalizační úlohy polí. Přehled deterministických metod. Lokální a globální optimum.
Nepodmíněné úlohy – metoda gradientní, největšího spádu, Newtonovy metody.
Úlohy s vedlejšími podmínkami a metody podmíněné minimalizace ve spojení s MKP.
Inverzní úlohy pro eliptické rovnice. Metoda nejmenších čtverců. Deterministické regularizační metody.
Přehled metod hladinových množin pro inverzní úlohy a optimální návrh.
Použití inverzních úloh v tomografii.
Pozn. Všechny body osnovy budou doplněny praktickou ukázkou nebo sestavením vlastního programu v prostředí programů MATLAB nebo ANSYS.

Učební cíle

Pochopit do hloubky základy numerického řešení PDR pro aplikaci v elektrotechnice.
Seznámit se s novými aplikacemi s využitím MKP a MKD v optimalizačních a inverzních úlohách.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky stanoví garant předmětu.

Základní literatura

Bossavit Alain.: Computational Electromagnetism – Variational formulations, complementarity, edge elements. Academic Press, 1998 (EN)
Dědek, L., Dědková J.: Elektromagnetismus. Skripta VUTIUM Brno, 2000 (CS)
Chari, M, V. K., Salon S. J.: Numerical Methods in Electromagnetism. Academic Press, 2000 (EN)
Rektorys Karel: Přehled užité matematiky I, II. Prometheus, 1995 (CS)
Sadiku Mathew: Electromagnetics (second edition), CRC Press, 2001 (EN)

Doporučená literatura

IEEE Transactions on Magnetics, ročník 1996 a výše (EN)
SIAM Journal on Control and Optimization, ročník 1996 a výše (EN)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program EKT-PP doktorský

    obor PP-FEN , 1 ročník, letní semestr, volitelný oborový
    obor PP-EST , 1 ročník, letní semestr, volitelný oborový
    obor PP-MET , 1 ročník, letní semestr, volitelný oborový
    obor PP-KAM , 1 ročník, letní semestr, volitelný oborový
    obor PP-TLI , 1 ročník, letní semestr, volitelný oborový
    obor PP-BEB , 1 ročník, letní semestr, volitelný oborový
    obor PP-TEE , 1 ročník, letní semestr, volitelný oborový
    obor PP-SEE , 1 ročník, letní semestr, volitelný oborový
    obor PP-MVE , 1 ročník, letní semestr, volitelný oborový

  • Program EKT-PK doktorský

    obor PK-TLI , 1 ročník, letní semestr, volitelný oborový
    obor PK-TEE , 1 ročník, letní semestr, volitelný oborový
    obor PK-MET , 1 ročník, letní semestr, volitelný oborový
    obor PK-FEN , 1 ročník, letní semestr, volitelný oborový
    obor PK-SEE , 1 ročník, letní semestr, volitelný oborový
    obor PK-KAM , 1 ročník, letní semestr, volitelný oborový
    obor PK-BEB , 1 ročník, letní semestr, volitelný oborový
    obor PK-MVE , 1 ročník, letní semestr, volitelný oborový
    obor PK-EST , 1 ročník, letní semestr, volitelný oborový

Typ (způsob) výuky

 

Seminář

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. Ing. Pavel Fiala, Ph.D.

Osnova

Úvod do funkcionální analýzy, diferenciální operátory, přehled parciálních diferenciálních rovnic, probíraných v kurzu, okrajové a počáteční podmínky.
Metoda konečných diferencí (MKD).
Metoda konečných prvků (MKP) – úvod. Diskretizace oblasti na konečné prvky. Aproximace polí z uzlových nebo hranových hodnot.
Dopředná úloha: Sestavení rovnic pro uzlové a hranové hodnoty Galerkinovou metodou.
Aplikace Galerkinovy metody na statická a kvazistatická pole (Poissonova a Helmholtzova rovnice).
Kombinace MKP a MKD pro časově proměnná pole (difuzní a vlnová rovnice). Spojení rovnice pole s obvodem se soustředěnými parametry.
Sdružené úlohy.
Optimalizační úlohy polí. Přehled deterministických metod. Lokální a globální optimum.
Nepodmíněné úlohy – metoda gradientní, největšího spádu, Newtonovy metody.
Úlohy s vedlejšími podmínkami a metody podmíněné minimalizace ve spojení s MKP.
Inverzní úlohy pro eliptické rovnice. Metoda nejmenších čtverců. Deterministické regularizační metody.
Přehled metod hladinových množin pro inverzní úlohy a optimální návrh.
Použití inverzních úloh v tomografii.
Pozn. Všechny body osnovy budou doplněny praktickou ukázkou nebo sestavením vlastního programu v prostředí programů MATLAB nebo ANSYS.