Detail předmětu

Náhodné procesy

FEKT-MPC-NPRAk. rok: 2021/2022

Předmět obsahuje úvod do teorie náhodných procesů: typy. Proto je v jeho úvodu zařazeno nejdříve opakování potřebného matematického aparátu (matice, determinanty, řešení rovnic, rozklad na parciální zlomky, pravděpodobnost). Poté je budována teorie náhodných procesů, kde se věnujeme Markovským procesům a řetězcům, a to jak diskrétním, tak i spojitým. Je provedena základní klasifikace stavů a studenti jsou seznámeni se způsoby jejich určení.Velká pozornost je věnována jejich asymptotickým vlastnostem. V další části se zavádí ocenění přechodů mezi jednotlivými stavy a studenti jsou seznámeni s rozhodovacími procesy a s možnostmi jejich řešení. V závěru se zmíníme o skrytých Markovských procesech a možnostech jejich řešení.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

5

Garant předmětu

doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (UMAT)

Výsledky učení předmětu

Absolvent předmětu je schopen:
• Popsat základní vlastnosti náhodných procesů.
• Vysvětlit základní Markovskou vlastnost.
• Sestavit matici Markovského řetezce.
• Vysvětlit postup výpočtu mocniny matice.
• Provést klasifikaci stavů Markovského řetezce v diskrétním i spojitém případě.
• Provést analýzu Markovského řetezce pomocí Z-transformace v diskrétním případě a pomocí Laplaceovy transformace ve spojitém případě.
• Vysvětli postup řešení u rozhodovacích úloh.
• Popsat postup řešení při rozhodovacích úloze s alternativami.
• Diskutovat o rozdílech mezi Markovskými řetězci a skrytými Markovskými řetězci.

Prerekvizity

Jsou požadovány znalosti na úrovni bakalářského studia, tj. student musí ovládat práci s množinami (průnik, sjednocení, doplněk), být schopen pracovat s maticemi, zvládat výpočet řešení systému lineárních algebraických rovnic eliminační metodou a výpočet matice inverzní, znát řady a jejich součty, znát grafy elementárních funkcí a způsoby jejich konstrukce, ovládat derivování a integrování základních funkcí.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování zahrnují přednáškya cvičení na počítači.

Způsob a kritéria hodnocení

Podmínky pro úspěšné ukončení předmětu stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu. Studenti mohou získat :
až 30 bodů za počítačová cvičení, které mohou získat za písemný test ( max. 20 bodů) a až 10 bodů za hodnocení aktivity na cvičeních,
až 70 bodů za písemnou semestrální zkoušku. Zadání pro zkoušku obsahuje teoretické i početní úlohy, které slouží pro ověření orientace studenta v problematice náhodných procesů a jejich aplikací.

Osnovy výuky

1. Vybudování potřebného matematického aparátu.
2. Pravděpodobnost
3. Náhodné procesy, základní pojmy, charakteristiky náhodných procesů.
4. Diskrétní Markovovy řetězce. Homogenní Markovovy řetězce, klasifikace stavů.
5. Regulární Markovovy řetězce, limitní vektor, fundamentální matice, střední doba prvého přechodu.
6. Absorpční řetězce, střední doba průchodu, přechodu a setrvání.
7. Analýza Markovových řetězců pomocí Z-transformace.
8. Výpočet mocniny matice přechodu.
9. Spojité Markovovy řetězce. Klasifikace pomocí Laplaceovy transformace.
10. Poissonův proces. Lineární proces růstu, lineární proces zániku , lineární proces růstu a zániku.
11. Markovské rozhodovací procesy. Ocenění přechodů. Asymptotické vlastnosti.
12. Rozhodovací procesy s alternativami.
13. Skryté Markovské procesy.

Učební cíle

Cílem kursu je podat studentům ucelený přehled základních pojmů a výsledků týkajících se teorie náhodných procesů a hlavně Markovských řetězců a procesů. Jsou ukázány možnosti aplikací pro rozhodovací procesy různých typů.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Počítačová cvičení jsou povinná. Řádně omluvenou neúčast lze nahradit zpracováním domácí úlohy, která je zaměřena na problematiku probíranou ve zameškaném cvičení.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.
Termín konání písemného testu je vyhlašován po dohodě se studenty minimálně týden před jeho konáním. Náhradní termín pro řádně omluvené studenty je obvykle v zápočtovém týdnu.

Základní literatura

BAŠTINEC, J.; SVOBODA, Z. Náhodné procesy. Brno: 2011. s. 1-182. (CS)
Prášková Z., Lachout P., Základy náhodných procesů I., MatfyzPress (CS)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program MPC-BTB magisterský navazující 1 ročník, zimní semestr, povinně volitelný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc.

Osnova

1. Náhodné veličiny, základní pojmy.
2. Náhodné procesy, charakteristiky náhodných procesů.
3. Markovovy řetězce s diskrétním časem, Chapman-Kolmogorovy rovnice.
4. Homogenní Markovovy řetězce.
5. Regulární Markovovy řetězce.
6. Absorpční řetězce.
7. Z-transformace, analýza Markovových řetězců.
8. Markovovy řetězce se spojitým časem.
9. Poissonův proces.
10. Chapman-Kolmogorovy diferenciální rovnice.
11. Markovovy rozhodovací procesy.
12. Asymptotické vlastnosti Markovových řetězců.
13. Rozhodovací proces s alternativami.

Cvičení s počítačovou podporou

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc.

Osnova

1. Úvod do statistického software.
2. Analýza náhodných veličin.
3. Výpočty charakteristik náhodných procesů.
4. Markovovy řetězce s diskrétním časem- aplikace.
5. Aplikace a řešení Chapman-Kolmogorových rovnic.
6. Homogenní a regulární Markovovy řetězce - aplikace.
7. Aplikace absorpčních řetězců.
8. Analýza Markovových řetězců pomocí Z-transformace.
9. Charakteristiky Markovových řetězců se spojitým časem.
10. Aplikace Poissonova procesu.
11. Aplikace a řešení Chapman-Kolmogorových diferenciálních rovnic.
12. Analýza Markovových rozhodovacích procesů.
13. Asymptotická analýza Markovových řetězců.