Detail předmětu

Matematické metody v teorii proudění

FSI-SMMAk. rok: 2021/2022

Fyzikální základy mechaniky tekutin: zákony zachování hmoty, hybnosti a energie. Vlastnosti hyperbolických rovnic, speciálně Eulerových rovnic popisujících proudění neviskózních stlačitelných tekutin. Numerické modelování Eulerových rovnic metodou konečných objemů a nespojitou Galerkinovou metodou. Numerické modelování nestlačitelných viskózních tekutin metodou tlakových korekcí (algoritmus SIMPLE).

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

Zajišťuje ústav

Výsledky učení předmětu

Studenti se seznámí se základními postupy modelování proudění tekutin: fyzikální zákony, matematická analýza rovnic popisujících proudění tekutin (Eulerovy a Navierovy-Stokesovy rovnice), volba vhodné numerické metody (která vychází z fyzikální a matematické podstaty rovnic) a počítačové modelování navržené numerické metody (preprocesing = tvorba sítě, numerický řešič, postprocesing = zobrazení žádáných fyzikálních veličin). Získané znalosti si studenti ověří a prohloubí zpracováním semestrálního projektu.

Prerekvizity

Parciální diferenciální rovnice evolučního typu, funkcionální analýza, numerické metody řešení parciálních diferenciálních rovnic.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.

Způsob a kritéria hodnocení

PODMÍNKY PRO ZÍSKÁNÍ ZÁPOČTU: Účast ve cvičeních, zpracování zadané práce, ve které studenti zúročí poznatky získané na přednáškách. V rámci cvičení možno získat maximálně 30 bodů. Podmínkou udělení zápočtu je získání alespoň 15 bodů.

ZKOUŠKA: je ústní. Za zkoušku student obdrží 0 až 70 bodů.

HODNOCENÍ: se bude odvíjet od součtu bodů ze cvičení a zkoušky.

KLASIFIKACE: 100-90: A (výborně), 89-80: B (velmi dobře), 79-70: C (dobře), 69-60: D (uspokojivě), 59-50: E (dostatečně), 49-0: F (nevyhovující).

Učební cíle

Předmět slouží jako úvodní seznámení s výpočtovými metodami pro modelování proudění tekutin. Pro stlačitelné proudění je vyložena metoda konečných objemů a nespojitá Galerkinova metoda, pro nestlačitelné proudění metoda tlakových korekcí a metoda konečných prvků. Studenti by měli pochopit, že teprve znalost podstatných fyzikálních a matematických aspektů jednotlivých typů proudění jim umožní efektivní volbu vhodné numerické metody resp. odpovídajícího softwarového produktu. Důležitou součástí předmětu je samostatná práce na zadaném projektu.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Účast na přednáškách je žádoucí, účast ve cvičeních je povinná. Výuka probíhá podle týdenních rozvrhů. Způsob náhrady zameškané výuky je plně v kompetenci cvičícího.

Základní literatura

E.F. Toro: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, A Practical Introduction, Springer, Berlin, 1999. (EN)
J.H. Ferziger, M. Peric: Computational Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag, New York, 2002. (EN)
K. H. Versteeg, W. Malalasekera: An Introduction to Computational Fluid Dynamics, Pearson Prentice Hall, Harlow, 2007. (EN)
M. Feistauer, J. Felcman, I. Straškraba: Mathematical and Computational Methods for Compressible Flow, Oxford University Press, Oxford, 2003 (EN)
V. Dolejší, M. Feistauer: Discontinuous Galerkin Method, Springer, Heidelberg, 2016. (EN)

Doporučená literatura

L. Čermák: Výpočtové metody dynamiky tekutin, dostupné na http://mathonline.fme.vutbr.cz/

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program M2A-P magisterský navazující

    obor M-MAI , 2 ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Materiálová derivace, transportní věta, zákony zachování hmoty a hybností.
2. Zákon zachování energie, konstituční vztahy, stavové rovnice.
3. Eulerovy a Navierovy-Stokesovy rovnice, počáteční a okrajové podmínky.
4. Akustické rovnice, problém dopravního proudu, problém mělké vody.
5. Hyperbolický problém, klasické a slabé řešení, nespojitosti v řešení.
6. Riemannův problém pro lineární a nelineární úlohu, klasifikace vln.
7. Metoda konečných objemů, lokální chyba, stabilita, konvergence.
8. Godunovova metoda
9. Metody založené na rozkladu vektoru toku: numerický tok Vijayasundaram, Steger-Warming, Van Leer, Roe.
10. Okrajové podmínky, metody druhého řádu.
11. Nespojitá Galerkinova metoda pro stlačitelné neviskózní proudění: princip DGM, diskretizace 2D Eulerových rovnic.
12. Metoda konečných objemů pro viskózní nestlačitelné proudění: algoritmus SIMPLE na pravidelné obdélníkové síti.
13. Metoda konečných objemů pro viskózní nestlačitelné proudění: algoritmus SIMPLE na nestrukturované síti.

Cvičení s počítačovou podporou

13 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Osnova

Ukázky řešení vybraných modelových úloh na počítači. Vypracování semestrální práce.