Detail předmětu

Matematické metody v teorii proudění

FSI-SMM-AAk. rok: 2021/2022

Fyzikální základy mechaniky tekutin: zákony zachování hmoty, hybnosti a energie. Vlastnosti hyperbolických rovnic, speciálně Eulerových rovnic popisujících proudění neviskózních stlačitelných tekutin. Numerické modelování Eulerových rovnic metodou konečných objemů a nespojitou Galerkinovou metodou. Numerické modelování nestlačitelných viskózních tekutin metodou tlakových korekcí (algoritmus SIMPLE).

Jazyk výuky

angličtina

Počet kreditů

4

Garant předmětu

doc. Ing. Luděk Nechvátal, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Výsledky učení předmětu

Studenti se seznámí se základními postupy modelování proudění tekutin: fyzikální zákony, matematická analýza rovnic popisujících proudění tekutin (Eulerovy a Navierovy-Stokesovy rovnice), volba vhodné numerické metody (která vychází z fyzikální a matematické podstaty rovnic) a počítačové modelování navržené numerické metody (preprocesing = tvorba sítě, numerický řešič, postprocesing = zobrazení žádáných fyzikálních veličin). Získané znalosti si studenti ověří a prohloubí zpracováním semestrálního projektu.

Prerekvizity

Parciální diferenciální rovnice evolučního typu, funkcionální analýza, numerické metody řešení parciálních diferenciálních rovnic.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.

Způsob a kritéria hodnocení

PODMÍNKY PRO ZÍSKÁNÍ ZÁPOČTU: Účast ve cvičeních, zpracování zadané práce, ve které studenti zúročí poznatky získané na přednáškách. V rámci cvičení možno získat maximálně 30 bodů. Podmínkou udělení zápočtu je získání alespoň 15 bodů.

ZKOUŠKA: je ústní. Za zkoušku student obdrží 0 až 70 bodů.

HODNOCENÍ: se bude odvíjet od součtu bodů ze cvičení a zkoušky.

KLASIFIKACE: 100-90: A (výborně), 89-80: B (velmi dobře), 79-70: C (dobře), 69-60: D (uspokojivě), 59-50: E (dostatečně), 49-0: F (nevyhovující).

Učební cíle

Předmět slouží jako úvodní seznámení s výpočtovými metodami pro modelování proudění tekutin. Pro stlačitelné proudění je vyložena metoda konečných objemů a nespojitá Galerkinova metoda, pro nestlačitelné proudění metoda tlakových korekcí a metoda konečných prvků. Studenti by měli pochopit, že teprve znalost podstatných fyzikálních a matematických aspektů jednotlivých typů proudění jim umožní efektivní volbu vhodné numerické metody resp. odpovídajícího softwarového produktu. Důležitou součástí předmětu je samostatná práce na zadaném projektu.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Účast na přednáškách je žádoucí, účast ve cvičeních je povinná. Výuka probíhá podle týdenních rozvrhů. Způsob náhrady zameškané výuky je plně v kompetenci cvičícího.

Základní literatura

E.F. Toro: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, A Practical Introduction, Springer, Berlin, 1999. (EN)
J.S. Hesthaven, T. Warburton: Nodal Discontinuous Galerkin Methods, Springer-Verlag New York, 2008. (EN)
M. Feistauer, J. Felcman, I. Straškraba: Mathematical and Computational Methods for Compressible Flow, Oxford University Press, 2003. (EN)
R.J. LeVeque: Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, 2002. (EN)

Doporučená literatura

J. Y. Murthy, S. R. Mathur: Numerical Methods in Heat, Mass and Momentum Transfer, Draft Notes ME 608, Purdue University, 2002, http://widget.ecn.purdue.edu/~jmurthy/me608/main.pdf.
L. Čermák: Řešení Navierových-Stokesových rovnic metodou tlakových korekcí. http://mathonline.fme.vutbr.cz/Matematicke-metody-v-teorii-proudeni/sc-1230-sr-1-a-239
L. Čermák: Řešení nestlačitelného proudění tekutin metodou spektrálních prvků. http://mathonline.fme.vutbr.cz/Matematicke-metody-v-teorii-proudeni/sc-1230-sr-1-a-239
M. Lukacova-Medviďová: Mathematical methods in fluid dynamics, CERM, Brno, 2003.

Elearning

eLearning: aktuální otevřený kurz

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program M2A-A magisterský navazující

    obor M-MAI , 2 ročník, zimní semestr, povinný

  • Program N-MAI-A magisterský navazující 2 ročník, zimní semestr, povinný
  • Program N-AIM-A magisterský navazující 2 ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Mgr. Jitka Zatočilová, Ph.D.

Osnova

1. Materiálová derivace, transportní věta, zákony zachování hmoty a hybností.
2. Zákon zachování energie, konstituční vztahy, stavové rovnice.
3. Eulerovy a Navierovy-Stokesovy rovnice, počáteční a okrajové podmínky.
4. Akustické rovnice, problém dopravního proudu, problém mělké vody.
5. Hyperbolický problém, klasické a slabé řešení, nespojitosti v řešení.
6. Riemannův problém pro lineární a nelineární úlohu, klasifikace vln.
7. Metoda konečných objemů, lokální chyba, stabilita, konvergence.
8. Godunovova metoda
9. Metody založené na rozkladu vektoru toku: numerický tok Vijayasundaram, Steger-Warming, Van Leer, Roe.
10. Okrajové podmínky, metody druhého řádu.
11. Nespojitá Galerkinova metoda pro stlačitelné neviskózní proudění: princip DGM, diskretizace 2D Eulerových rovnic.
12. Metoda konečných objemů pro viskózní nestlačitelné proudění: algoritmus SIMPLE na pravidelné obdélníkové síti.
13. Metoda konečných objemů pro viskózní nestlačitelné proudění: algoritmus SIMPLE na nestrukturované síti.

Cvičení s počítačovou podporou

13 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Mgr. Jitka Zatočilová, Ph.D.

Osnova

Ukázky řešení vybraných modelových úloh na počítači. Vypracování semestrální práce.

Elearning

eLearning: aktuální otevřený kurz