Detail předmětu

Matematika 3 (G)

FAST-BAA010Ak. rok: 2022/2023

Dvojný a trojný integrál, základní vlastnosti a výpočet. Transformace dvojného a trojného integrálu a jejich aplikace.
Křivkový integrál 1.a 2.druhu, základní vlastnosti a výpočet. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě. Greenova věta.
Obyčejné diferenciální rovnice (DR) prvního řádu, existence a jednoznačnost řešení. DR se separovanými proměnnými, homogenní, lineární a exaktní DR. Ortogonální a izogonální trajektorie, obálka soustavy křivek. Lineární DR n-tého řádu, obecné řešení, základní vlastnosti řešení. Lineární DR s konstantními koeficienty.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

5

Garant předmětu

prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky a deskriptivní geometrie (MAT)

Výsledky učení předmětu

Student zvládne hlavní cíle předmětu. Naučí se řešit dvojné a trojné integrály pomocí Fubiniových vět a standardních transformací. Zvládne výpočet jednoduchých křivkových integrálů ve skalárním i vektorovém poli. Naučí se analyticky řešit diferenciální rovnice prvního řádu (separovanou, lineární, homogenní, exaktní). Zvládne kalkul řešení nehomogenní lineární DR n-tého řádu se speciální pravou stranou i obecnou metodu variace konstant.

Prerekvizity

Ovládat elementární pojmy teorie funkcí jedné reálné proměnné a více reálných proměnných (derivace, parciální derivace, limita a spojitost, grafy fukcí).
Umět řešit integrály funkce jedné reálné proměnné, znát jejich základní aplikace.

Osnovy výuky

1. Definice dvojného (trojného) integrálu, jeho základní vlastnosti. Výpočet dvojného integrálu.
2. Transformace dvojného integrálu, geometrický a fyzikální význam dvojného integrálu.
3. Výpočet a transformace trojného integrálu.
4. Fyzikální a geometrický význam trojného integrálu.
5. Křivkový integrál ve skalárním poli (definice, jeho vlastnosti, výpočet a aplikace).
6. Vektorové pole (divergence, rotace vektorového pole), křivkový integrál ve vektorovém poli (definice, jeho vlastnosti, výpočet).
7. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě. Fyzikální aplikace.
8. Greenova věta, aplikace – obsah rovinné oblasti.
9. Diferenciální rovnice (dále DR), základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení DR y´= f(x,y). DR prvního řádu - separovaná, homogenní.
10. Lineární a exaktní DR. Ortogonální a izogonální trajektorie.
11. Lineární DR n-tého řádu (dále LDR n-tého řádu), lineární nezávislost řešení, wronskián, struktura řešení.
12. Homogenní LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty. Řešení nehomogenní LDR n-tého řádu se speciální pravou stranou.
13. Dokončení přednášky. Metoda variace konstant.

Učební cíle

Seznámit se s dvojnými a trojnými integrály a jejich základními aplikacemi, zvládnout počítání těchto integrálů pomocí Fubiniových vět a standardních transformací.
Seznámit se s křivkovými integrály ve skalárním a vektorovém poli a jejich aplikacemi. Zvládnout výpočet jednoduchých křivkových integrálů.
Seznámit se s vybranými diferenciálními rovnicemi (DR) prvního řádu, problematikou existence a jednoznačnosti řešení DR. Naučit se analyticky řešit DR separovanou, lineární, homogenní prvního řádu, exaktní. Zvládnout kalkul řešení nehomogenní lineární DR n-tého řádu se speciální pravou stranou i obecnou metodu variace konstant. Pochopit strukturu řešení nehomogenních lineárních DR n-tého řádu. Pochopit problematiku ortogonálních a izogonálních trajektorií.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Základní literatura

Daněček Josef, Dlouhý Oldřich, Přibyl Oto. Matematika II, Modul 1, Dvojný a trojný integrál, Brno, VUT, FAST, Studijní opora, 2004 (CS)
Daněček Josef, Dlouhý Oldřich, Přibyl Oto. Matematika II, Modul 2, Křivkové integrály, Brno, VUT, FAST, Studijní opora, 2004 (CS)
Diblík Josef, Přibyl Oto. Obyčejné diferenciální rovnice 1, Modul 3, Brno, VUT, FAST, Studijní opora, 2004 (CS)
Diblík Josef, Přibyl Oto. Obyčejné diferenciální rovnice 2, Modul 4, Brno, VUT, FAST, Studijní opora, 2004 (CS)

Doporučená literatura

K. F. Riley, M. P. Hobson, S. J. Bence. Mathematical Methods for Physics and Engineering: A Comprehensive Guide, ‎ Cambridge University Press, 3rd edition, 2006. (EN)
Klaus Weltner, S. T. John, Wolfgang J. Weber, Peter Schuster, Jean Grosjean. Mathematics for Physicists and Engineers: Fundamentals and Interactive Study Guide, Springer, 2023. (EN)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program BPC-GK bakalářský 2 ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc.
RNDr. Rudolf Schwarz, CSc.

Osnova

1. Definice dvojného (trojného) integrálu, jeho základní vlastnosti. Výpočet dvojného integrálu. 2. Transformace dvojného integrálu, geometrický a fyzikální význam dvojného integrálu. 3. Výpočet a transformace trojného integrálu. 4. Fyzikální a geometrický význam trojného integrálu. 5. Křivkový integrál ve skalárním poli (definice, jeho vlastnosti, výpočet a aplikace). 6. Vektorové pole (divergence, rotace vektorového pole), křivkový integrál ve vektorovém poli (definice, jeho vlastnosti, výpočet). 7. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě. Fyzikální aplikace. 8. Greenova věta, aplikace – obsah rovinné oblasti. 9. Diferenciální rovnice (dále DR), základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení DR y´= f(x,y). DR prvního řádu - separovaná, homogenní. 10. Lineární a exaktní DR. Ortogonální a izogonální trajektorie. 11. Lineární DR n-tého řádu (dále LDR n-tého řádu), lineární nezávislost řešení, wronskián, struktura řešení. 12. Homogenní LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty. Řešení nehomogenní LDR n-tého řádu se speciální pravou stranou. 13. Dokončení přednášky. Metoda variace konstant.

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

RNDr. Rudolf Schwarz, CSc.

Osnova

1. Základní vlastnosti dvojného (trojného) integrálu. Výpočet dvojného integrálu. 2. Transformace dvojného integrálu, geometrický a fyzikální význam dvojného integrálu. 3. Výpočet a transformace trojného integrálu. 4. Fyzikální a geometrický význam trojného integrálu. 5. Křivkový integrál ve skalárním poli (definice, jeho vlastnosti, výpočet a aplikace). 6. Vektorové pole (divergence, rotace vektorového pole), výpočet křivkového integrálu ve vektorovém poli. 7. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě. Fyzikální aplikace. 8. Greenova věta, aplikace – obsah rovinné oblasti. 9. Diferenciální rovnice (dále DR), DR prvního řádu - separovaná, homogenní. 10. Lineární a exaktní DR. Ortogonální a izogonální trajektorie. 11. Homogenní LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty. 12. Řešení nehomogenní LDR n-tého řádu se speciální pravou stranou. 13. Metoda variace konstant. Zápočty.