Detail předmětu

Matematika 3

FAST-BA003Ak. rok: 2022/2023

Dvojný a trojný integrál. Jejich výpočet, transformace, fyzikální a geometrický význam.
Křivkový integrál ve skalárním poli, jeho výpočet a aplikace. Divergence a rotace vektorového pole. Křivkový integrál ve vektorovém poli, jeho výpočet a aplikace. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě. Greenova věta.
Existence a jednoznačnost řešení diferenciální rovnice 1. řádu, řešení vybraných typů diferenciálních rovnic 1. řádu. Homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty. Řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice se speciální pravou stranou. Metoda variace konstant.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

5

Garant předmětu

doc. Ing. Vladislav Kozák, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky a deskriptivní geometrie (MAT)

Výsledky učení předmětu

Znalost dvojných a trojných integrálů, jejich výpočtu a základních aplikací. Znalost křivkových integrálů ve skalárním a vektorovém poli, jejich výpočtu a základních aplikací. Znalost problematiky existence a jednoznačnosti řešení diferenciálních rovnic 1. řádu v explicitním tvaru. Znalost elementárních metod řešení separované, lineární a exaktní diferenciální rovnice 1. řádu a lineárních diferenciálních rovnic n-tého řádu.

Prerekvizity

Ovládat elementární pojmy teorie funkcí jedné reálné proměnné a více reálných proměnných (derivace, parciální derivace, limita a spojitost, grafy funkcí). Umět řešit integrály funkce jedné reálné proměnné, znát jejich základní aplikace.

Osnovy výuky

1. Dvojný integrál, výpočet, vlastnosti.
2. Transformace a aplikace dvojného integrálu.
3. Trojný integrál, výpočet, vlastnosti.
4. Transformace a aplikace trojného integrálu.
5. Pojem křivky. Křivkový integrál ve skalárním poli.
6. Vektorové pole, divergence, rotace. Křivkový integrál ve vektorovém poli.
7. Aplikace, práce, cirkulace. Greenova věta a její aplikace.
8. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě. Potenciál.
9. Základní pojmy z obyčejných diferenciálních rovnic.
10. Rovnice prvního řádu - separovaná, lineární, exaktní.
11. Homogenní lineární rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty, nezávislost řešení, wronskián.
12. Řešení nehomogenní rovnice se speciální pravou stranou.
13. Metoda variace konstant. Aplikace diferenciálních rovnic v technické praxi.

Učební cíle

Seznámit se s dvojnými a trojnými integrály a jejich základními aplikacemi, zvládnout počítání těchto integrálů pomocí Fubiniových vět a standardních transformací.
Seznámit se s křivkovými integrály ve skalárním a vektorovém poli a jejich aplikacemi. Zvládnout výpočet jednoduchých křivkových integrálů.
Seznámit se s vybranými diferenciálními rovnicemi (DR) prvního řádu, problematikou existence a jednoznačnosti řešení DR. Naučit se analyticky řešit DR separovanou, lineární, homogenní prvního řádu, exaktní. Zvládnout kalkul řešení nehomogenní lineární DR n-tého řádu se speciální pravou stranou i obecnou metodu variace konstant. Pochopit strukturu řešení nehomogenních lineárních DR n-tého řádu.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Základní literatura

Eliáš, J., Horváth, J., Kajan, J., Śulka, R., Zbierka úloh z vzššej matamatiky 3 a 4, Alfa Bratislava 1979. (SK)
Jirásek, F., Čipera, S., Vacek, M., Sbírka řešených příkladů z matematiky II, SNTL Praha 1986. (CS)

Doporučená literatura

Škrášek, J., Tichý Z., Základy aplikované matematiky II, Praha SNTL 1986. (CS)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program B-P-C-SI (N) bakalářský

    obor VS , 2 ročník, zimní semestr, povinný

  • Program B-K-C-SI (N) bakalářský

    obor VS , 2 ročník, zimní semestr, povinný

  • Program B-P-E-SI (N) bakalářský

    obor VS , 2 ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

RNDr. Hana Šafářová
doc. Ing. Vladislav Kozák, CSc.
RNDr. Mgr. Lucie Zrůstová, Ph.D.

Osnova

1. Dvojný integrál, výpočet, vlastnosti. 2. Transformace a aplikace dvojného integrálu. 3. Trojný integrál, výpočet, vlastnosti. 4. Transformace a aplikace trojného integrálu. 5. Pojem křivky. Křivkový integrál ve skalárním poli. 6. Vektorové pole, divergence, rotace. Křivkový integrál ve vektorovém poli. 7. Aplikace, práce, cirkulace. Greenova věta a její aplikace. 8. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě. Potenciál. 9. Základní pojmy z obyčejných diferenciálních rovnic. 10. Rovnice prvního řádu - separovaná, lineární, exaktní. 11. Homogenní lineární rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty, nezávislost řešení, wronskián. 12. Řešení nehomogenní rovnice se speciální pravou stranou. 13. Metoda variace konstant. Aplikace diferenciálních rovnic v technické praxi.

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

RNDr. Rudolf Schwarz, CSc.

Osnova

1. Opakování kvadrik a integrování. 2. Výpočet dvojného integrálu. 3. Transformace dvojného integrálu. 4. Aplikace dvojného integrálu. 5. Výpočet trojného integrálu. 6. Transformace a aplikace trojného integrálu, hmotnost, objem. 7. Výpočet křivkového integrálu ve skalárním poli, aplikace. 8. Výpočet křivkového integrálu ve vektorovém poli. 9. Greenova věta. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě. Výpočet potenciálu. 10. Diferenciální rovnice 1. řádu, separovaná, lineární. 11. Exaktní rovnice. Homogenní lineární rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty. 12. Řešení nehomogenní rovnice se speciální pravou stranou. 13. Metoda variace konstant. Zápočet.