Detail předmětu

Matematika 5 (R)

FAST-NAA020Ak. rok: 2022/2023

Základy numerické matematiky, zejména interpolace a aproximace funkcí, numerické derivování a integrování, řešení algebraických a diferenciálních rovnic a jejich soustav.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

4

Garant předmětu

prof. Ing. Jiří Vala, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky a deskriptivní geometrie (MAT)

Výsledky učení předmětu

Výstupem předmětu jsou znalosti a schopnosti, které studentům umožní pochopení základních numerických úloh a myšlenek, na nichž jsou založeny algoritmy jejich řešení. Ve své bodoucí praxi v oboru svého studia budou schopni posoudit použitelnost numerických metod pro řešení technických problémů a efektivně používat existujících univerzálních programových systémů pro řešení základních typů numerických úloh i jejich budoucích zdokonalení.

Prerekvizity

Základní kurzy matematiky v BSP, programování v jazyku MATLAB (v rozsahu volitelného kurzu na ústavu MAT).

Osnovy výuky

1. Chyby v numerických výpočtech. Lineární prostory a zobrazení, věty o pevném bodu.
Iterační metody pro řešení nelineárních algebraických a vybraných dalších rovnic.
2. Iterační a kombinované metody pro řešení lineárních soustav algebraických rovnic, relaxační metody, metoda sdružených gradientů.
3. Multiplikativní rozklady matic. Numerický výpočet vlastních čísel a vektorů matic a inverzních matic, algoritmy pro speciální matice.
4. Podmíněnost soustav lineárních rovnic. Metoda nejmenších čtverců, pseudoinverzní matice.
5. Zobecnění metod z 3. a 4. pro řešení soustav nelineárních rovnic.
6. Lagrangeova a Hermiteova interpolace funkcí 1proměnné, zejména polynomy a splajny.
7. Aproximace funkcí 1 proměnné metodou nejmenších čtverců: lineární a nelineární varianta.
8. Aproximace funkcí více proměnných.
9. Numerické derivování. Metoda konečných diferencí pro řešení vybraných počátečních a okrajových úloh pro obyčejné diferenciální rovnice.
10. Numerické integrování. Metoda konečných prvků pro řešení pro řešení vybraných počátečních a okrajových úloh pro obyčejné diferenciální rovnice.
11. Časově závislé úlohy. Časová diskretizace: Eulerovy metody, metoda Cranka-Nicholsonové, Rungeho-Kuttovy metody, Newmarkova metoda.
12. Zobecnění 9. a 10. pro parciální diferenciální rovnice evolučního typu, např. rovnice přenosu tepla, rovnice proudění tekutin a rovnice dynamiky stavebních konstrukcí.
13. Citlivostní a inverzní úlohy. Identifikace materiálových parametrů ze známých výsledků měření.
Vybrané inženýrské aplikace v návaznosti na další předměty.

Učební cíle

Pochopit základní principy numerických výpočtů a seznámit se s faktory, které ovlivňují numerické výpočty. Umět řešit vybrané základní úlohy numerické matematiky. Pochopit princip iteračních metod řešení rovnice f(x)=0 a systémů lineárních algebraických rovnic, zvládnout výpočetní algoritmy. Seznámit se s problematikou interpolace a aproximace funkcí a naučit se úlohy prakticky řešit. Znát principy numerické derivace a umět numericky řešit okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice. Naučit se numerickým výpočtům určitých integrálů.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Základní literatura

VALA J.: Numerická matematika. FAST VUT v Brně 2021. (CS)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program NPC-SIR magisterský navazující 1 ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. Mgr. Ing. Miroslav Trcala, Ph.D.

Osnova

1. Chyby v numerických výpočtech. Lineární prostory a zobrazení, věty o pevném bodu. Iterační metody pro řešení nelineárních algebraických a vybraných dalších rovnic. 2. Iterační a kombinované metody pro řešení lineárních soustav algebraických rovnic, relaxační metody, metoda sdružených gradientů. 3. Multiplikativní rozklady matic. Numerický výpočet vlastních čísel a vektorů matic a inverzních matic, algoritmy pro speciální matice. 4. Podmíněnost soustav lineárních rovnic. Metoda nejmenších čtverců, pseudoinverzní matice. 5. Zobecnění metod z 3. a 4. pro řešení soustav nelineárních rovnic. 6. Lagrangeova a Hermiteova interpolace funkcí 1proměnné, zejména polynomy a splajny. 7. Aproximace funkcí 1 proměnné metodou nejmenších čtverců: lineární a nelineární varianta. 8. Aproximace funkcí více proměnných. 9. Numerické derivování. Metoda konečných diferencí pro řešení vybraných počátečních a okrajových úloh pro obyčejné diferenciální rovnice. 10. Numerické integrování. Metoda konečných prvků pro řešení pro řešení vybraných počátečních a okrajových úloh pro obyčejné diferenciální rovnice. 11. Časově závislé úlohy. Časová diskretizace: Eulerovy metody, metoda Cranka-Nicholsonové, Rungeho-Kuttovy metody, Newmarkova metoda. 12. Zobecnění 9. a 10. pro parciální diferenciální rovnice evolučního typu, např. rovnice přenosu tepla, rovnice proudění tekutin a rovnice dynamiky stavebních konstrukcí. 13. Citlivostní a inverzní úlohy. Identifikace materiálových parametrů ze známých výsledků měření. Vybrané inženýrské aplikace v návaznosti na další předměty.

Cvičení

13 hod., povinná

Vyučující / Lektor

RNDr. Oto Přibyl
doc. Mgr. Ing. Miroslav Trcala, Ph.D.

Osnova

Cvičení navazují na příslušné přednášky: 1. Chyby v numerických výpočtech. Lineární prostory a zobrazení, věty o pevném bodu. Iterační metody pro řešení nelineárních algebraických a vybraných dalších rovnic. 2. Iterační a kombinované metody pro řešení lineárních soustav algebraických rovnic, relaxační metody, metoda sdružených gradientů. 3. Multiplikativní rozklady matic. Numerický výpočet vlastních čísel a vektorů matic a inverzních matic, algoritmy pro speciální matice. 4. Podmíněnost soustav lineárních rovnic. Metoda nejmenších čtverců, pseudoinverzní matice. 5. Zobecnění metod z 3. a 4. pro řešení soustav nelineárních rovnic. 6. Lagrangeova a Hermiteova interpolace funkcí 1proměnné, zejména polynomy a splajny. 7. Aproximace funkcí 1 proměnné metodou nejmenších čtverců: lineární a nelineární varianta. 8. Aproximace funkcí více proměnných. 9. Numerické derivování. Metoda konečných diferencí pro řešení vybraných počátečních a okrajových úloh pro obyčejné diferenciální rovnice. 10. Numerické integrování. Metoda konečných prvků pro řešení pro řešení vybraných počátečních a okrajových úloh pro obyčejné diferenciální rovnice. 11. Časově závislé úlohy. Časová diskretizace: Eulerovy metody, metoda Cranka-Nicholsonové, Rungeho-Kuttovy metody, Newmarkova metoda. 12. Zobecnění 9. a 10. pro parciální diferenciální rovnice evolučního typu, např. rovnice přenosu tepla, rovnice proudění tekutin a rovnice dynamiky stavebních konstrukcí. 13. Citlivostní a inverzní úlohy. Identifikace materiálových parametrů ze známých výsledků měření. Vybrané inženýrské aplikace v návaznosti na další předměty.