Detail předmětu

Matematika 5 (R)

FAST-CA006Ak. rok: 2022/2023

Chyby v numerických výpočtech. Řešení transcendentních rovnic pro jednu a více neznámých iteračními metodami. Iterační metody řešení systémů lineárních algebraických rovnic. Interpolace a aproximace funkce. Numerické derivování, numerická integrace a jejich aplikace pro řešení okrajových úloh pro obyčejné diferenciální rovnice. Aplikace podle zaměření oboru.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

4

Garant předmětu

prof. Ing. Jiří Vala, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky a deskriptivní geometrie (MAT)

Výsledky učení předmětu

Výstupem předmětu jsou znalosti a schopnosti, které studentům umožní pochopení základních numerických úloh a myšlenek, na nichž jsou založeny algoritmy jejich řešení. Ve své bodoucí praxi v oboru svého studia budou schopni posoudit použitelnost numerických metod pro řešení technických problémů a efektivně používat existujících univerzálních programových systémů pro řešení základních typů numerických úloh i jejich budoucích zdokonalení.

Prerekvizity

Ovládat elementární pojmy teorie funkcí jedné reálné proměnné (derivace, limita a spojitost, grafy fukcí). Umět počítat hodnoty určitých integrálů, znát jejich základní aplikace.

Osnovy výuky

1. Chyby v numerických výpočtech, metoda půlení a metoda prosté iterace pro řešení jedné rovnice pro jednu reálnou neznámou
2. Metoda prosté iterace, Newtonova metoda a její modifikace pro řešení jedné rovnice pro jednu reálnou neznámou
3. Normy matic a vektorů, výpočet matice inverzní
4. Řešení systémů lineárních rovnic se speciálními maticemi a číslo podmíněnosti matice
5. Iterační metody řešení systémů lineárních rovnic
6. Metody řešení systémů nelineárních rovnic
7. Lagrangeova interpolace polynomy a kubickými splajny, Hermiteova interpolace polynomy a Hermiteovými interpolačními kubickými splajny
8. Diskrétní metoda nejmenších čtverců, numerické derivování
9. Klasická formulace okrajové úlohy pro ODR 2. řádu a její aproximace metodou sítí
10. Numerická integrace. Variační formulace okrajové úlohy pro ODR 2. řádu
11. Diskretizace variační úlohy pro ODR 2. řádu metodou konečných prvků
12. Klasická a variační formulace okrajové úlohy pro ODR 4. řádu
13. Diskretizace variační úlohy pro ODR 4. řádu metodou konečných prvků

Učební cíle

Pochopit základní principy numerických výpočtů a seznámit se s faktory, které ovlivňují numerické výpočty. Umět řešit vybrané základní úlohy numerické matematiky. Pochopit princip iteračních metod řešení rovnice f(x)=0 a systémů lineárních algebraických rovnic, zvládnout výpočetní algoritmy. Seznámit se s problematikou interpolace a aproximace funkcí a naučit se úlohy prakticky řešit. Znát principy numerické derivace a umět numericky řešit okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice. Naučit se numerickým výpočtům určitých integrálů.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Základní literatura

VALA J.: Numerická matematika. FAST VUT v Brně 2021. (CS)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program N-P-C-SI (N) magisterský navazující

    obor R , 1 ročník, zimní semestr, povinný

  • Program N-K-C-SI (N) magisterský navazující

    obor R , 1 ročník, zimní semestr, povinný

  • Program N-P-E-SI (N) magisterský navazující

    obor R , 1 ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. Ing. Jiří Vala, CSc.

Osnova

1. Chyby v numerických výpočtech, metoda půlení a metoda prosté iterace pro řešení jedné rovnice pro jednu reálnou neznámou 2. Metoda prosté iterace, Newtonova metoda a její modifikace pro řešení jedné rovnice pro jednu reálnou neznámou 3. Normy matic a vektorů, výpočet matice inverzní 4. Řešení systémů lineárních rovnic se speciálními maticemi a číslo podmíněnosti matice 5. Iterační metody řešení systémů lineárních rovnic 6. Metody řešení systémů nelineárních rovnic 7. Lagrangeova interpolace polynomy a kubickými splajny, Hermiteova interpolace polynomy a Hermiteovými interpolačními kubickými splajny 8. Diskrétní metoda nejmenších čtverců, numerické derivování 9. Klasická formulace okrajové úlohy pro ODR 2. řádu a její aproximace metodou sítí 10. Numerická integrace. Variační formulace okrajové úlohy pro ODR 2. řádu 11. Diskretizace variační úlohy pro ODR 2. řádu metodou konečných prvků 12. Klasická a variační formulace okrajové úlohy pro ODR 4. řádu 13. Diskretizace variační úlohy pro ODR 4. řádu metodou konečných prvků

Cvičení

13 hod., povinná

Vyučující / Lektor

prof. Ing. Jiří Vala, CSc.

Osnova

Přímo navazuje na jednotlivé přednášky. 1. Chyby v numerických výpočtech, metoda půlení a metoda prosté iterace pro řešení jedné rovnice pro jednu reálnou neznámou 2. Metoda prosté iterace, Newtonova metoda a její modifikace pro řešení jedné rovnice pro jednu reálnou neznámou 3. Normy matic a vektorů, výpočet matice inverzní 4. Řešení systémů lineárních rovnic se speciálními maticemi a číslo podmíněnosti matice 5. Iterační metody řešení systémů lineárních rovnic 6. Metody řešení systémů nelineárních rovnic 7. Lagrangeova interpolace polynomy a kubickými splajny, Hermiteova interpolace polynomy a Hermiteovými interpolačními kubickými splajny 8. Diskrétní metoda nejmenších čtverců, numerické derivování 9. Klasická formulace okrajové úlohy pro ODR 2. řádu a její aproximace metodou sítí 10. Numerická integrace. Variační formulace okrajové úlohy pro ODR 2. řádu 11. Diskretizace variační úlohy pro ODR 2. řádu metodou konečných prvků 12. Klasická a variační formulace okrajové úlohy pro ODR 4. řádu 13. Diskretizace variační úlohy pro ODR 4. řádu metodou konečných prvků