Detail předmětu

Matematika

FAST-DA01Ak. rok: 2022/2023

Chyby v numerických výpočtech a numerické řešení jedné rovnice pro jednu reálnou neznámou.
Iterační metody. Banachova věta o pevném bodě.
Iterační metody řešení systémů lineárních a nelineárních rovnic.
Přímé metody řešení systémů lineárních rovnic, inverze matic, vlastní čísla, vlastní vektory.
Interpolace a aproximace funkce polynomy a splajny.
Numerické derivování a integrace. Extrapolace k limitě.

Jazyk výuky

čeština

Garant předmětu

prof. Ing. Jiří Vala, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky a deskriptivní geometrie (MAT)

Výsledky učení předmětu

Poznatky o základních typech úloh řešených v numerické analýze, poznání nejjednodušších numerických metod jejich řešení a jejich základních vlastností a schopnost samostatně řešit základní typické úlohy.

Prerekvizity

Znalost základních pojmů lineární algebry a vektorového počtu. Ovládat elementární pojmy teorie funkcí jedné reálné proměnné a více reálných proměnných (limita a spojitost, grafy fukcí, derivace, parciální derivace). Znalost základních pojmů integrálního počtu jedné a dvou proměnných.

Osnovy výuky

1. Chyby v numerických výpočtech. Numerické řešení jedné rovnice pro jednu reálnou neznámou.
2. Základní princip iteračních metod. Iteračních metody řešení jedné rovnice pro jednu reálnou neznámou.
3. Normy vektorů a matic, vlastní čísla a vlastní vektory matic. Iterační metody pro systémy lineárních rovnic - část I.
4. Iterační metody pro systémy lineárních rovnic - část II. Iterační metody pro systémy nelineárních rovnic.
5. Přímé metody řešení systémů lineárních algebraických rovnic, LU-rozklad matice. Systémy lineárních rovnic se speciálními maticemi-část I.
6. Systémy lineárních rovnic se speciálními maticemi - část II. Metody založené na minimalizaci kvadratické formy.
7. Výpočet inverzních matic a determinantů, stabilita, podmíněnost.
8. Vlastní čísla - mocninná metoda. Základy interpolace.
9. Interpolace polynomiální.
10. Interpolace pomocí splajnů. Ortogonální polynomy.
11. Aproximace diskrétní metodou nejmenších čtverců.
12. Numerická derivace, Richardsonova extrapolace. Numerická integrace funkcí jedné proměnné - část I.
13. Numerická integrace funkcí jedné proměnné - část II. Numerická integrace funkcí dvou proměnných.

Učební cíle

Pochopit základní principy numerických výpočtů a seznámit se s faktory, které ovlivňují numerické výpočty. Umět řešit vybrané základní úlohy numerické matematiky. Zvládnout princip iteračních metod řešení rovnice f(x)=0 a systémů lineárních algebraických rovnic, zvládnout výpočetní algoritmy. Naučit se aproximovat vlastní čísla a vlastní vektory matice. Seznámit se s problematikou interpolace a aproximace funkcí jedné proměnné a naučit se úlohy prakticky řešit. Znát principy numerické derivace a naučit se numerickou aproximaci integrálů funkce jedné a dvou proměnných.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Doporučená literatura

DALÍK, J.: Numerické metody. CERM Brno 1997
HOROVÁ, I., ZELINKA, J.: Numerické metody. Masarykova univerzita v Brně 2004
MIKA, S.: Numerické metody algebry. SNTL Praha 1982
PŘIKRYL, P., BRANDNER, M.: Numerické metody II. ZČU Plzeň 2000

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program D-P-C-GK doktorský

    obor GAK , 1 ročník, letní semestr, povinně volitelný

  • Program D-K-C-GK doktorský

    obor GAK , 1 ročník, letní semestr, povinně volitelný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. Ing. Jiří Vala, CSc.

Osnova

1. Chyby v numerických výpočtech. Numerické řešení jedné rovnice pro jednu reálnou neznámou. 2. Základní princip iteračních metod. Iteračních metody řešení jedné rovnice pro jednu reálnou neznámou. 3. Normy vektorů a matic, vlastní čísla a vlastní vektory matic. Iterační metody pro systémy lineárních rovnic - část I. 4. Iterační metody pro systémy lineárních rovnic - část II. Iterační metody pro systémy nelineárních rovnic. 5. Přímé metody řešení systémů lineárních algebraických rovnic, LU-rozklad matice. Systémy lineárních rovnic se speciálními maticemi-část I. 6. Systémy lineárních rovnic se speciálními maticemi - část II. Metody založené na minimalizaci kvadratické formy. 7. Výpočet inverzních matic a determinantů, stabilita, podmíněnost. 8. Vlastní čísla - mocninná metoda. Základy interpolace. 9. Interpolace polynomiální. 10. Interpolace pomocí splajnů. Ortogonální polynomy. 11. Aproximace diskrétní metodou nejmenších čtverců. 12. Numerická derivace, Richardsonova extrapolace. Numerická integrace funkcí jedné proměnné - část I. 13. Numerická integrace funkcí jedné proměnné - část II. Numerická integrace funkcí dvou proměnných.