Detail předmětu

Matematika 2 (G)

FAST-BAA009Ak. rok: 2022/2023

Primitivní funkce, neurčitý integrál a jeho vlastnosti, integrační metody. Integrace racionální funkce, goniometrických funkcí a vybraných typů iracionálních funkcí. Newtonův integrál - vlastnosti a výpočet. Riemannův integrál. Aplikace určitého integrálu v geometrii a ve fyzice. Reálná funkce dvou a více proměnných, funkce složená. Limita a spojitost funkce dvou a více proměnných. Věty o spojitých funkcích. Parciální derivace, parciální derivace složené funkce, parciální derivace vyšších řádů funkce dvou a více proměnných. Transformace diferenciálních výrazů. Totální diferenciál funkce. Totální diferenciály vyšších řádů. Taylorův polynom funkce dvou proměnných. Lokální extrémy funkce dvou proměnných. Funkce jedné proměnné daná implicitně. Funkce dvou proměnných daná implicitně. Globální extrémy. Jednoduché úlohy hledání globálních extrémů pomocí vázaných extrémů. Skalární pole, jeho hladiny. Derivace skalární funkce ve směru, gradient. Tečna a normálová rovina k prostorové křivce. Tečná rovina a normála k ploše dané implicitně.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

5

Garant předmětu

prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky a deskriptivní geometrie (MAT)

Výsledky učení předmětu

Student zvládne metody výpočtu neurčitých a určitých integrálů a jejich hlavní aplikace. Pochopí základy diferenciálního počtu funkcí více proměnných a jejich použití při analýze průběhu těchto funkcí v trojrozměrném prostoru.

Prerekvizity

Elementární pojmy teorie funkcí jedné reálné proměnné(limita a spojitost, grafy funkcí, derivace, průběh funkce).
Vzorce pro výpočet neurčitých a určitých integrálů i základní integrační metody.

Osnovy výuky

1. Pojem primitivní funkce. Vlastnosti neurčitého integrálu. Integrační metody pro neurčitý integrál.
2. Integrace racionální funkce. Integrace goniometrických funkcí.
3. Integrace vybraných typů iracionálních funkcí.
4. Newtonův integrál, jeho vlastnosti a výpočet. Definice Riemannova integrálu. Aplikace integrálního počtu v geometrii a ve fyzice.
5. Reálná funkce dvou a více proměnných, funkce složená. Limita a spojitost funkce dvou a více proměnných. Věty o spojitých funkcích.
6. Parciální derivace, parciální derivace složené funkce, parciální derivace vyšších řádů funkce dvou a více proměnných. Transformace diferenciálních výrazů.
7. Totální diferenciál funkce. Totální diferenciály vyšších řádů funkce. Taylorův polynom funkce dvou proměnných. Lokální extrémy funkce dvou proměnných.
8. Funkce jedné proměnné a funkce dvou proměnných dané implicitně.
9. Globální extrémy. Jednoduché úlohy hledání globálních extrémů pomocí vázaných extrémů. Skalární pole, jeho hladiny. Derivace skalární funkce ve směru, gradient.
10. Tečna a normálová rovina k prostorové křivce. Tečná rovina a normála k ploše dané implicitně.

Učební cíle

Zvládnout principy integrování některých složitějších elementárních funkcí. Pochopit některé aplikace určitého integrálu (délka křivky, objem a povrch rotačního tělesa, statické momenty a těžiště).
Seznámit se základními pojmy diferenciálního počtu funkce dvou a více proměnných. Zvládnout parciální derivování funkcí více proměnných, seznámit se s pojmem funkce implicitní. Pochopit pojem a geometrickou interpretaci totálního diferenciálu funkce. Naučit se určovat lokální a absolutní extrémy funkce dvou proměnných. Seznámit se s pojmem a výpočtem směrové derivace funkce více proměnných.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Základní literatura

Daněček Josef, Dlouhý Oldřich, Přibyl Oto. Matematika I, Modul 7, Neurčitý integrál, Brno, VUT, FAST, Studijní opora, 2004 (CS)
Daněček Josef, Dlouhý Oldřich, Přibyl Oto. Matematika I, Modul 8, Určitý integrál, Brno, VUT, FAST, Studijní opora, 2004 (CS)
Dlouhý Oldřich, Tryhyk Václav. Matematika I, Modul BA01_M09, GA04_M03, Reálná funkce dvou a více proměnných-I, Brno, VUT, FAST, Studijní opora, 2004 (CS)
Dlouhý Oldřich, Tryhyk Václav. Matematika II, Modul BA01_M10, GA04_M04, Reálná funkce dvou a více proměnných-II, Brno, VUT, FAST, Studijní opora, 2004 (CS)

Doporučená literatura

K. F. Riley, M. P. Hobson, S. J. Bence. Mathematical Methods for Physics and Engineering: A Comprehensive Guide, ‎ Cambridge University Press, 3rd edition, 2006. (EN)
Klaus Weltner, S. T. John, Wolfgang J. Weber, Peter Schuster, Jean Grosjean. Mathematics for Physicists and Engineers: Fundamentals and Interactive Study Guide, Springer, 2023. (EN)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program BPC-GK bakalářský 1 ročník, letní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc.
Mgr. et Mgr. Jan Šafařík, Ph.D.

Osnova

1. Pojem primitivní funkce. Vlastnosti neurčitého integrálu. Integrační metody pro neurčitý integrál. 2. Integrace racionální funkce. Integrace goniometrických funkcí. 3. Integrace vybraných typů iracionálních funkcí. 4. Newtonův integrál, jeho vlastnosti a výpočet. Definice Riemannova integrálu. Aplikace integrálního počtu v geometrii a ve fyzice. 5. Reálná funkce dvou a více proměnných, funkce složená. Limita a spojitost funkce dvou a více proměnných. Věty o spojitých funkcích. 6. Parciální derivace, parciální derivace složené funkce, parciální derivace vyšších řádů funkce dvou a více proměnných. Transformace diferenciálních výrazů. 7. Totální diferenciál funkce. Totální diferenciály vyšších řádů funkce. Taylorův polynom funkce dvou proměnných. Lokální extrémy funkce dvou proměnných. 8. Funkce jedné proměnné a funkce dvou proměnných dané implicitně. 9. Globální extrémy. Jednoduché úlohy hledání globálních extrémů pomocí vázaných extrémů. Skalární pole, jeho hladiny. Derivace skalární funkce ve směru, gradient. 10. Tečna a normálová rovina k prostorové křivce. Tečná rovina a normála k ploše dané implicitně.

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Mgr. et Mgr. Jan Šafařík, Ph.D.
RNDr. Oto Přibyl

Osnova

1. Integrace racionální funkce. 2. Integrace goniometrických funkcí. 3. Integrace vybraných typů iracionálních funkcí. Newtonův integrál, jeho vlastnosti a výpočet. Definice Riemannova integrálu. 4. Aplikace integrálního počtu v geometrii a ve fyzice. 5. Reálná funkce dvou a více proměnných, funkce složená. Limita a spojitost. 6. Zápočtová písemná práce I. Parciální derivace, parciální derivace složené funkce, parciální derivace vyšších řádů funkce dvou a více proměnných. Transformace diferenciálních výrazů. 7. Totální diferenciál funkce. Totální diferenciály vyšších řádů funkce. Taylorův polynom funkce dvou proměnných. Lokální extrémy funkce dvou proměnných. 8. Funkce dané implicitně. 9. Zápočtová písemná práce II. Globální extrémy. Skalární pole, jeho hladiny. Derivace skalární funkce ve směru, gradient. 10. Tečna a normálová rovina k prostorové křivce. Tečná rovina a normála k ploše dané implicitně.