Detail předmětu

Numerické úlohy s parciálními diferenciálními rovnicemi

FEKT-DKC-TE2Ak. rok: 2022/2023

Obsah semináře sestává ze dvou navazujících celků. V první části jsou studovány základní metody numerického řešení parciálních diferenciálních rovnic (PDR), a to metoda konečných diferencí (MKD) a metoda konečných prvků (MKP). Těmito metodami a jejich kombinací jsou řešeny Laplaceova, Poissonova, Helmholtzova, difuzní a vlnová PDR, a to pro zadané okrajové počáteční podmínky a známé rozložení parametrů prostředí v uzavřené oblasti (dopředná úloha). Tuto část uzavírá numerické řešení kombinovaných úloh, jako je propojení elektromagnetického pole s obvody se soustředěnými parametry nebo několika vzájemně vázaných polí (teplotní, elektromagnetické, pružnost a pevnost, proudění).
Ve druhé části se uvedené metody aplikují jako součást různých iteračních procesů ke stanovení parametrů prostředí PDR ze změřených nebo zadaných vstupních dat. Je studováno teoretické i praktické využití numerických metod s PDE k řešení úloh optimalizačních (stanovení rozměrů a materiálů zařízení) a inverzních (různé varianty tomografie (impedanční, ultrazvuková, NMR), materiálové modely makro, mikro i nanoskopické, fotonika, nanoelektronika, biofotonika, plazma atd. Jednotlivá témata budou doplněna praktickými výpočty v prostředí programů ANSYS a MATLAB.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

4

Garant předmětu

prof. Ing. Pavel Fiala, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav teoretické a experimentální elektrotechniky (UTEE)

Výsledky učení předmětu

Získat teoretické vědomosti o MKP a MKD a jejich aplikaci spolu se schopností samostatně programovat dopředné i inverzní úlohy.

Prerekvizity

Matematika, Fyzika, Elektromagnetismus na úrovni magisterského studia.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT. Metody vyučování zahrnují přednášky kombinované se semináři. Předmět využívá e-learning (Moodle).

Způsob a kritéria hodnocení

Celkové hodnocení předmětu 100 bodů.

Osnovy výuky

1. Úvod do funkcionální analýzy, diferenciální operátory, přehled parciálních diferenciálních rovnic, probíraných v kurzu, okrajové a počáteční podmínky.
2. Metoda konečných diferencí (MKD). Metoda konečných prvků (MKP) – úvod. Diskretizace oblasti na konečné prvky. Aproximace polí z uzlových nebo hranových hodnot.
3. Dopředná úloha: Sestavení rovnic pro uzlové a hranové hodnoty Galerkinovou metodou.
4. Aplikace Galerkinovy metody na statická a kvazistatická pole (Poissonova a Helmholtzova rovnice).
5. Kombinace MKP a MKD pro časově proměnná pole (difuzní a vlnová rovnice). Spojení rovnice pole s obvodem se soustředěnými parametry, nestacionární úlohy časová a frekvenční doména.
6.-7. Sdružené úlohy, modely s respektováním teorie relativity, stochastické modely.
8. Optimalizační úlohy polí. Přehled deterministických metod. Lokální a globální optimum.
9. Nepodmíněné úlohy – metoda gradientní, největšího spádu, Newtonovy metody, stochastické modely, magnetohydrodynamika a relativistický přístup k popisu modelu.
10. Stochastické modelování ve spojení s MKP, mikroskopický přístup k aplikaci MKP, Nanometrické geometrie, modely, efekty, jevy.
11. Inverzní úlohy pro eliptické rovnice. Metoda nejmenších čtverců. Deterministické regularizační metody, Přehled metod hladinových množin pro inverzní úlohy a optimální návrh.
12. Použití inverzních úloh v tomografii.
13. Metody a modely modelování atomových a subatomových úrovní, nanoelektronika, periodické struktury, strukturální modelování, fotonika, biofotonika.

Pozn. Všechny body osnovy budou doplněny praktickou ukázkou nebo sestavením vlastního programu v prostředí programů MATLAB nebo ANSYS.

Učební cíle

Pochopit do hloubky základy numerického řešení PDR pro aplikaci v elektrotechnice.
Seznámit se s novými aplikacemi s využitím MKP a MKD v optimalizačních a inverzních úlohách.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky stanoví garant předmětu.

Základní literatura

J.A.Stratton, Electromagnetic Theory, McGraw-Hill Book Company, New York and London, 1941, https://archive.org/details/electromagnetict031016mbp/page/n637 (EN)
Sadiku, M.: Electromagnetics (second edition), CRC Press, 2001 (EN)

Doporučená literatura

IEEE Transactions on Magnetics, ročník 2012 a výše (EN)
SIAM Journal on Control and Optimization, ročník 2013 a výše (EN)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program DKC-EKT doktorský 0 ročník, letní semestr, povinně volitelný
  • Program DKC-IBE doktorský 0 ročník, letní semestr, povinně volitelný
  • Program DKC-KAM doktorský 0 ročník, letní semestr, povinně volitelný
  • Program DKC-MET doktorský 0 ročník, letní semestr, povinně volitelný
  • Program DKC-SEE doktorský 0 ročník, letní semestr, povinně volitelný
  • Program DKC-TEE doktorský 0 ročník, letní semestr, povinný
  • Program DKC-TLI doktorský 0 ročník, letní semestr, povinně volitelný

Typ (způsob) výuky

 

Konzultace

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. Ing. Pavel Fiala, Ph.D.

Osnova

1. Týden
Úvod do funkcionální analýzy, diferenciální operátory, přehled parciálních diferenciálních rovnic, probíraných v kurzu, okrajové a počáteční podmínky.
2.Týden
Metoda konečných diferencí (MKD). Metoda konečných prvků (MKP) – úvod. Diskretizace oblasti na konečné prvky. Aproximace polí z uzlových nebo hranových hodnot.
3.Týden
Dopředná úloha: Sestavení rovnic pro uzlové a hranové hodnoty Galerkinovou metodou.
4.Týden
Aplikace Galerkinovy metody na statická a kvazistatická pole (Poissonova a Helmholtzova rovnice).
5.Týden
Kombinace MKP a MKD pro časově proměnná pole (difuzní a vlnová rovnice). Spojení rovnice pole s obvodem se soustředěnými parametry, nestacionární úlohy časová a frekvenční doména.
6.-7.Týden
Sdružené úlohy, modely s respektováním teorie relativity, stochastické modely.
8.Týden
Optimalizační úlohy polí. Přehled deterministických metod. Lokální a globální optimum.
9.Týden
Nepodmíněné úlohy – metoda gradientní, největšího spádu, Newtonovy metody, stochastické modely, magnetohydrodynamika a relativistický přístup k popisu modelu.
10. Týden
Stochastické modelování ve spojení s MKP, mikroskopický přístup k aplikaci MKP, Nanometrické geometrie, modely, efekty, jevy.
11.Týden
Inverzní úlohy pro eliptické rovnice. Metoda nejmenších čtverců. Deterministické regularizační metody, Přehled metod hladinových množin pro inverzní úlohy a optimální návrh.
12.Týden
Použití inverzních úloh v tomografii.
13.Týden
Metody a modely modelování atomových a subatomových úrovní, nanoelektronika, periodické struktury, strukturální modelování, fotonika, biofotonika.

Pozn. Všechny body osnovy budou doplněny praktickou ukázkou nebo sestavením vlastního programu v prostředí programů MATLAB nebo ANSYS.