Detail předmětu

Numerical Computations with Partial Differential Equations

FEKT-DPA-TE2Ak. rok: 2022/2023

Obsah semináře sestává ze dvou navazujících celků. V první části jsou studovány základní metody numerického řešení parciálních diferenciálních rovnic (PDR), a to metoda konečných diferencí (MKD) a metoda konečných prvků (MKP). Těmito metodami a jejich kombinací jsou řešeny Laplaceova, Poissonova, Helmholtzova, difuzní a vlnová PDR, a to pro zadané okrajové počáteční podmínky a známé rozložení parametrů prostředí v uzavřené oblasti (dopředná úloha). Tuto část uzavírá numerické řešení kombinovaných úloh, jako je propojení elektromagnetického pole s obvody se soustředěnými parametry nebo několika vzájemně vázaných polí (teplotní, elektromagnetické, pružnost a pevnost, proudění).
Ve druhé části se uvedené metody aplikují jako součást různých iteračních procesů ke stanovení parametrů prostředí PDR ze změřených nebo zadaných vstupních dat. Je studováno teoretické i praktické využití numerických metod s PDE k řešení úloh optimalizačních (stanovení rozměrů a materiálů zařízení) a inverzních (různé varianty tomografie (impedanční, ultrazvuková, NMR), materiálové modely makro, mikro i nanoskopické, fotonika, nanoelektronika, biofotonika, plazma atd. Jednotlivá témata budou doplněna praktickými výpočty v prostředí programů ANSYS a MATLAB.

Jazyk výuky

angličtina

Počet kreditů

4

Garant předmětu

prof. Ing. Pavel Fiala, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav teoretické a experimentální elektrotechniky (UTEE)

Výsledky učení předmětu

Získat teoretické vědomosti o MKP a MKD a jejich aplikaci spolu se schopností samostatně programovat dopředné i inverzní úlohy.

Prerekvizity

Matematika, Fyzika, Elektromagnetismus na úrovni magisterského studia.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT. Metody vyučování zahrnují přednášky kombinované se semináři. Předmět využívá e-learning (Moodle).

Způsob a kritéria hodnocení

Celkové hodnocení předmětu 100 bodů.

Osnovy výuky

1. Introduction to the functional analysis, differential operators, survey of the partial differential equations, boundary and initial conditions.
2. Finite difference methods (FDM). Finite element methods (FEM). – introduction. Discretization of a region into the finite elements. Approximation of fields from node or edge values.
3. Forward problem. Setup of equations for nodal and edge values by the Galerkin method.
4. Application of the Galerkin method to the static and quasistatic fields (Poisson’s and Helmholtz’s equation).
5. Application of FEM and FDM on the time variable problems (the diffusion and wave equation). Connection of the field region with the lumped parameter circuit, non-stationary time and frequency domains.
6.-7. Coupled problems, models with respect to theory of relativity, stochastic models.
8. The field optimization problem. Survey of the deterministic methods. The local and global minima.
9. Unconstrained problems – gradient method, method of the steepest descent, Newton’s methods, stochastic models, magnetohydrodynamics and relativistic approach to model description.
10. Stochastic modeling together with FEM, microscopic approach to FEM application, nanometric geometry, models, effects, phenomena.
11. Inverse problems for the elliptic equations. The Least Square method. Deterministic regularization methods. A survey on level set methods for inverse problems and optimal design.
12. A survey on inverse problems in tomography.
13. Methods and models of modeling of an atomic and subatomic levels, nanoelectronics, periodic structures, structural modeling, photonics, biophotonics.

Učební cíle

Pochopit do hloubky základy numerického řešení PDR pro aplikaci v elektrotechnice.
Seznámit se s novými aplikacemi s využitím MKP a MKD v optimalizačních a inverzních úlohách.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Vymezení kontrolované výuky stanoví garant předmětu.

Základní literatura

J.A.Stratton, Electromagnetic Theory, McGraw-Hill Book Company, New York and London, 1941, https://archive.org/details/electromagnetict031016mbp/page/n637 (EN)
Sadiku, M.: Electromagnetics (second edition), CRC Press, 2001 (EN)

Doporučená literatura

IEEE Transactions on Magnetics, ročník 2012 a výše (EN)
SIAM Journal on Control and Optimization, ročník 2013 a výše (EN)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program DPA-EKT doktorský 0 ročník, letní semestr, povinně volitelný
  • Program DPA-KAM doktorský 0 ročník, letní semestr, povinně volitelný
  • Program DPA-MET doktorský 0 ročník, letní semestr, povinně volitelný
  • Program DPA-SEE doktorský 0 ročník, letní semestr, povinně volitelný
  • Program DPA-TEE doktorský 0 ročník, letní semestr, povinný
  • Program DPA-TLI doktorský 0 ročník, letní semestr, povinně volitelný

Typ (způsob) výuky

 

Seminář

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. Ing. Pavel Fiala, Ph.D.

Osnova

1. Týden
Úvod do funkcionální analýzy, diferenciální operátory, přehled parciálních diferenciálních rovnic, probíraných v kurzu, okrajové a počáteční podmínky.
2.Týden
Metoda konečných diferencí (MKD). Metoda konečných prvků (MKP) – úvod. Diskretizace oblasti na konečné prvky. Aproximace polí z uzlových nebo hranových hodnot.
3.Týden
Dopředná úloha: Sestavení rovnic pro uzlové a hranové hodnoty Galerkinovou metodou.
4.Týden
Aplikace Galerkinovy metody na statická a kvazistatická pole (Poissonova a Helmholtzova rovnice).
5.Týden
Kombinace MKP a MKD pro časově proměnná pole (difuzní a vlnová rovnice). Spojení rovnice pole s obvodem se soustředěnými parametry, nestacionární úlohy časová a frekvenční doména.
6.-7.Týden
Sdružené úlohy, modely s respektováním teorie relativity, stochastické modely.
8.Týden
Optimalizační úlohy polí. Přehled deterministických metod. Lokální a globální optimum.
9.Týden
Nepodmíněné úlohy – metoda gradientní, největšího spádu, Newtonovy metody, stochastické modely, magnetohydrodynamika a relativistický přístup k popisu modelu.
10. Týden
Stochastické modelování ve spojení s MKP, mikroskopický přístup k aplikaci MKP, Nanometrické geometrie, modely, efekty, jevy.
11.Týden
Inverzní úlohy pro eliptické rovnice. Metoda nejmenších čtverců. Deterministické regularizační metody, Přehled metod hladinových množin pro inverzní úlohy a optimální návrh.
12.Týden
Použití inverzních úloh v tomografii.
13.Týden
Metody a modely modelování atomových a subatomových úrovní, nanoelektronika, periodické struktury, strukturální modelování, fotonika, biofotonika.

Pozn. Všechny body osnovy budou doplněny praktickou ukázkou nebo sestavením vlastního programu v prostředí programů MATLAB nebo ANSYS.