Detail předmětu
Mathematical Analysis
FSI-UMA-AAk. rok: 2022/2023
Předmět má seznámit studenty se základy teorie diferenciálních rovnic a dynamických systémů. Tyto poznatky tvoří teoretický základ potřebný pro matematické modelování ve fyzice, mechanice a jiných technických oborech.
Jazyk výuky
Počet kreditů
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Výsledky učení předmětu
Po absolvování předmětu studenti zvládnou analyticky řešit obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů a soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu. Budou schopni posoudit otázku stability ekvilibrií (singulárních bodů) nelineárních autonomních soustav. Na vybraných úlohách z fyziky, mechaniky i jiných disciplín se seznámí s možnostmi matematického modelování pomocí obyčejných diferenciálních rovnic a s analýzou získaných rovnic.
Prerekvizity
Lineární algebra, diferenciální počet funkcí jedné a více proměnných, integrální počet funkcí jedné proměnné, obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu.
Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení jsou zaměřena na praktické zvládnutí látky probírané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení
Podmínky udělení zápočtu: Semestrální práce obsahující řešení zadaných úloh; práce bude hodnocena. Aktivní účast ve cvičeních (pokud kurz neprobíhá formou konzultací).
Zkouška: Zkouška prověřuje znalosti definic a vět (zejména schopnost jejich užití na vybraných úlohách) a praktickou dovednost při řešení příkladů. Zkouška se skládá z písemné a ústní části.
Do klasifikačního hodnocení se zahrnuje výsledek hodnocení semestrální práce (max. 15 bodů), výsledek písemného testu (max. 75 bodů) a hodnocení diskuze nad testem (max. 10 bodů).
Klasifikační hodnocení studenta: výborně (90-100 bodů), velmi dobře (80-89 bodů), dobře (70-79 bodů), uspokojivě (60-69 bodů), dostatečně (50-59 bodů), nevyhovující (0-49 bodů).
Učební cíle
Cílem předmětu je seznámit studenty se základními pojmy a metodami řešení soustav obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu a jejich speciálních případů, se základy teorie stability řešení autonomních soustav a s dalšími vybranými tématy z teorie obyčejných diferenciálních rovnic. Cílem předmětu je také ukázat, že poznatky z teorie obyčejných diferenciálních rovnic se velmi často uplatňují ve fyzice, technické mechanice i jiných oborech.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky
Účast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je povinná a kontrolovaná. Stanovení způsobů náhrady zmeškané výuky je v kompetenci vyučujícího.
Základní literatura
W. E. Boyce, R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations, 9th Edition, Wiley, 2008. (EN)
Doporučená literatura
L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Text in Applied Mathematics, 7, Springer-Verlag, New York, 2001. (EN)
W. E. Boyce, R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations, 9th Edition, Wiley, 2008. (EN)
Zařazení předmětu ve studijních plánech
Typ (způsob) výuky
Přednáška
Vyučující / Lektor
Osnova
1. Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu (opakování). Obyčejné diferenciální rovnice (ODR) vyšších řádů. Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy. Obecné řešení homogenních a nehomogenních lineárních rovnic.
2. Metody řešení homogenních lineárních ODR vyšších řádů s konstantními koeficienty.
Řešení nehomogenních lineárních ODR vyšších řádů - metoda variace konstant.
3. Řešení nehomogenních lineárních ODR vyšších řádů s konstantními koeficienty - metoda neurčitých koeficientů.
4. Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu. Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy. Obecné řešení homogenních a nehomogenních lineárních soustav.
5. Metody řešení homogenních lineárních soustav ODR s konstantními koeficienty.
6. Řešení nehomogenních lineárních soustav ODR - metoda variace konstant.
7. Řešení nehomogenních lineárních soustav ODR s konstantními koeficienty - metoda neurčitých koeficientů.
8. Stabilita řešení obyčejných diferenciálních rovnic a jejich soustav. Základní pojmy. Stabilita lineárních soustav ODR s konstantními koeficienty.
9. Autonomní soustavy ODR prvního řádu. Orbita a fázový portrét. Ekvilibrium a jeho stabilita. Linearizace.
10. Dvoudimenzionální lineární soustavy ODR s konstantní regulární maticí. Klasifikace ekvilibrií.
11. Dvoudimenzionální autonomní nelineární soustavy ODR. Topologická ekvivalence.
12. Matematické modelování v mechanice a biologii.
13. Další vybraná témata z teorie obyčejných diferenciálních rovnic.
Cvičení
Vyučující / Lektor
Osnova
1. Obyčejné diferenciální rovnice (ODR) 1. řádu (opakování). Analytické metody řešení ODR vyšších řádů.
2. Analytické metody řešení ODR vyšších řádů - pokračování.
3. Analytické metody řešení ODR vyšších řádů - pokračování.
4. Analytické metody řešení soustav ODR prvního řádu.
5. Analytické metody řešení soustav ODR prvního řádu - pokračování.
6. Analytické metody řešení soustav ODR prvního řádu - pokračování.
7. Analytické metody řešení soustav ODR prvního řádu - pokračování.
8. Stabilita lineárních soustav ODR s konstantními koeficienty.
9. Autonomní soustavy ODR prvního řádu.
10. Dvoudimenzionální lineární soustavy ODR s konstantní regulární maticí.
11. Dvoudimenzionální autonomní nelineární soustavy ODR.
12. Matematické modelování v mechanice a biologii.
13. Další vybraná témata z teorie obyčejných diferenciálních rovnic.