Detail předmětu
Matematika III
FSI-3M-AAk. rok: 2022/2023
Předmět má seznámit studenty se základy teorie nekonečných řad a se základními pojmy a metodami řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Tyto poznatky tvoří nezbytný teoretický základ pro studium fyzikálních a inženýrských disciplin. Předmět zahrnuje následující témata:
Nekonečné řady. Číselné řady. Funkční řady. Mocninné řady.
Taylorovy řady a rozvoje funkcí v Taylorovy řady. Fourierovy řady a rozvoje funkcí ve Fourierovy řady.
Obyčejné diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice prvního řádu.
Lineární diferenciální rovnice vyšších řádů. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu.
Parciální diferenciální rovnice. Klasifikace. Modelování pomocí diferenciálních rovnic.
Základní numerické metody řešení diferenciálních rovnic s vyižitím vhodného softwaru (např. Matlab).
Jazyk výuky
Počet kreditů
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Nabízen zahraničním studentům
Výsledky učení předmětu
diferenciálních rovnic. Na vybraných úlohách se seznámí s konstrukcí
diferenciální rovnice jako matematického modelu dané úlohy, s problémy
existence a jednoznačnosti jejího řešení a s výběrem vhodné metody
řešení. Naučí se posuzovat otázky konvergence nekonečných řad
a možnosti rozvojů funkcí v Taylorovy a Fourierovy řady.
Prerekvizity
Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody
Způsob a kritéria hodnocení
podmínek průběžné kontroly znalostí. Získání minimálně polovičního bodového ohodnocení
z každého ze dvou kontrolních zápočtových testů.
Zkouška: Zkouška prověřuje znalosti definic a vět (zejména schopnost
jejich užití na vybraných úlohách) a praktickou dovednost při řešení
příkladů. Zkouška je písemná (příp. i ústní). Písemná zkouška se skládá zejména z početních příkladů týkajících se následujících témat: Číselné a funkční řady, rozvoj dané funkce do Taylorovy řady, řešení ODR 1. řádu, řešení lineární ODR vyššího řádu, řešení soustavy lineárních ODR 1. řádu, Fourierovy řady, řešení ODR metodou nekonečných řad a pomocí Laplaceovy transformace, okrajové úlohy, základy teorie PDR. Do písemné části mohou být zařazeny též (teoretické) otázky týkající se základních pojmů.
Do klasifikačního hodnocení se zahrnuje výsledek písemné zkoušky (maximálně 65 bodů), hodnocení z ústní části (maximálně 15 bodů),
hodnocení ze cvičení (maximálně 14 bodů), a hodnocení ze cvičení s počítačovou podporou (maximálně 6 bodů).
Klasifikační hodnocení studenta: výborně (90-100 bodů), velmi dobře
(80-89 bodů), dobře (70-79 bodů), uspokojivě (60-69 bodů), dostatečně (50-59 bodů), nevyhovující (0-49 bodů).
Učební cíle
řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic a se
základy teorie nekonečných řad. Úkolem předmětu je ukázat, že
poznatky z teorie diferenciálních rovnic se uplatňují zejména
ve fyzice a technických vědních oborech, a že základní znalosti
nekonečných řad jsou předpokladem při řešení rozličných úloh.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky
Základní literatura
Elearning
Zařazení předmětu ve studijních plánech
Typ (způsob) výuky
Přednáška
Vyučující / Lektor
Osnova
2. Operace s číselnými řadami. Funkční řady. Základní vlastnosti.
3. Mocninné řady. Taylorovy řady a rozvoje funkcí v mocninné řady.
4. Trigonometrické Fourierovy řady. Otázky konvergence a rozvoje funkcí.
5. Obyčejné diferenciální rovnice (ODR). Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy pro ODR 1. řádu. Analytické metody řešení vybraných typů ODR 1. řádu.
6. ODR vyššího řádu. Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy pro ODR vyššího řádu. Obecné řešení homogenní a nehomogenní lineární rovnice. Metody řešení homogenní lineární ODR vyššího řádu s konstantními koeficienty.
7. Metody řešení nehomogenní lineární ODR vyššího řádu s konstantními koeficienty.
8. Soustavy ODR 1. řádu. Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy pro soustavy ODR 1. řádu. Obecné řešení homogenní a nehomogenní soustavy lineárních ODR 1. řádu.
9. Metody řešení homogenních soustav lineárních ODR 1. řádu s konstantními koeficienty.
10. Metody řešení nehomogenních soustav lineárních ODR 1. řádu s konstantními koeficienty.
11. Laplaceova transformace a její užití při řešení lineární ODR vyššího řádu. Využití mocninných řad při řešení ODR.
12. Stabilita řešení ODR a jejich systémů. Okrajové úlohy pro ODR 2. řádu. Parciální diferenciální rovnice. Základní pojmy. Rovnice matematické fyziky.
13. Matematické modelování pomocí diferenciálních rovnic.
Cvičení
Vyučující / Lektor
Osnova
2. Číselné řady.
3. Funkční a mocninné řady.
4. Taylorovy řady.
5. Fourierovy řady.
6. Analytické metody řešení ODR 1. řádu.
7. Analytické metody řešení ODR 1. řádu - pokračování.
8. Homogenní lineární ODR vyššího řádu.
9. Nehomogenní lineární ODR vyššího řádu.
10. Homogenní soustavy lineárních ODR 1. řádu.
11. Nehomogenní soustavy lineárních ODR 1. řádu.
12. Soustavy lineárních ODR 1. řádu - pokračování.
13. Laplaceova transformace a metoda řad při řešení ODR.
Cvičení s počítačovou podporou
Vyučující / Lektor
Osnova
Elearning