Detail předmětu

Funkcionální analýza a prostory funkcí

FSI-9FAPAk. rok: 2022/2023

Předmět se zabývá základní pojmy funkcionální analýzy a prostorů funkcí a jejich využitím při analýze úloh matematické fyziky.

Jazyk výuky

čeština

Garant předmětu

prof. RNDr. Jan Franců, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Výsledky učení předmětu

Znalost základních pojmů metrických, lineárních normovaných a unitárních prostorů, Lebesgueova integrálu a schopnost tyto pojmy využívat.

Prerekvizity

Diferenciální a integrální počet, numerické metody, obyčejné diferenciální rovnice.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny.

Způsob a kritéria hodnocení

Zkouška se skládá z praktické a teoretické čáasti. V praktická části jde o ilustraci pojmů na konkrétních příkladech. Teoretická část: otázky z přednesené látky.

Učební cíle

Seznámit studenty se základy funkcionální analýzy a teorie prostorů funkcí a jejich využitím při analýze úloh matematické fyziky.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

V případě absence student si musí doplnit zameškanou látku samostudiem ze skript.

Základní literatura

Kufner, A., John, O., Fučík, S.: Function spaces. Academia, Praha, 1977. (EN)
Nečas, J.: Direct Methods in the Theory of Elliptic Equations, Springer, Heidelberg 2012. (EN)
Rektorys, K.: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky. SNTL, Praha, 1974. (CS)
Yosida, K. : Functional analysis, Springer, Berlin, 1965 (EN)
Ženíšek, A.: Nonlinear elliptic and evolution problems and their finite element approximations. Academic Press, London, 1990. (EN)

Doporučená literatura

Čech, E.: Bodové množiny, Academia, Praha, 1974, 288 stran (CS)
Franců, J.: Funkcionální analýza 1, Akad. nakl. CERM, Brno 2014 (CS)
Kolmogorov, A. N., Fomin, S. V. : Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy SNTL, Praha 1975. (CS)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program D-APM-K doktorský 1 ročník, letní semestr, doporučený kurs
  • Program D-APM-P doktorský 1 ročník, letní semestr, doporučený kurs

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

20 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Jan Franců, CSc.

Osnova

1. Metrika a metrické prostory, příklady.
2. Lineární a normované lineární prostory, Banachovy prostory.
3. Skalární součin a Hilbertovy prostory.
4. Příklady prostorů: R^n, C^n, prostory posloupností, spojitých a integrovatelných funkcí.
5. Základy Lebesgueova integrálu, Lebesgueovy prostory.
6. Zobecněné derivace, Soboleovy prostory.
7. Stopy funkcí. Věta o stopách.
8. Věty o vnoření. Věta o hustotě.
9. Lax-Milgramova věta a její aplikace při řešitelnosti diferenciálních rovnic.
10. Vztahy mezi diferenciálními a integrálními rovnicemi.