Detail předmětu

Funkce komplexní proměnné

FSI-9FKPAk. rok: 2022/2023

Funkce komplexní proměnné. Elementární funkce. Limita funkce komplexní proměnné. Spojitost funkce komplexní proměnné. Integrál funkce komplexní proměnné. Potenční řady a Taylorova řada. Laurentova řada. Izolované singularity. Rezidua. Konformní zobrazení. Celé funkce. Princip maxima modulu. Meromorfní funkce.

Jazyk výuky

čeština

Garant předmětu

doc. Mgr. Petr Vašík, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Výsledky učení předmětu

Studenti se seznámí s prací s elementárními funkcemi v komplexním oboru. Naučí se hledat jejich limity a vyšetřovat jejich spojitost. Obeznámí se s derivací funkce komplexní proměnné a Cauchy-Riemannovými podmínkami. Dalším tématem je integrál funkce komplexní proměnné, Cauchyho věta a Cauchyův integrální vzorec. Jako aplikace reziduí se budou počítat integrály reziduovou větou. Pomocí lineární, lineární lomené, mocninné, exponenciální a logaritmické funkce se účastníci přednášky naučí zobrazovat prostě a konformně oblasti v Gaussově rovině.

Prerekvizity

Diferenciální a integrální počet.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny.

Způsob a kritéria hodnocení

Předmět je ukončen zkouškou, která je ústní. Prověřuje se u ní znalost definic, vět a algoritmů a schopnost jejich užití na konkrétních aplikacích.

Učební cíle

Seznámit studenty s teorií funkcí komplexní proměnné. Výklad směřuje přes nezbytné základní pojmy ke studiu holomorfních funkcí. Dalším důležitým probíraným pojmem je integrál funkce komplexní proměnné včetně řešení otázky jeho nezávislosti na křivce. Holomorfní funkce lze v závislosti na typuoblasti rozvinout v Taylorovu nebo obecněji Laurentovu řadu. Na to navazuje klasifikace izolovaných singularit a zavedení pojmu rezidua s aplikací v reziduové větě. Partie konformního zobrazení podává geometrickou aplikaci holomorfních funkcí. V závěru přednášky se studují celé a meromorfní funkce. K tomu je připojena jako aplikace část týkající se Hurwitzových polynomů.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Učast na přednáškách je doporučená. Výuka probíhá podle týdenních rozvrhů. Je možné studovat individuálně podle doporučené literatury s využitím konzultací.

Základní literatura

Bajpai, A.C., Mustoe, L.R., Walker, D.: Advanced Engineering Mathematics. John Wiley & Sons, Chichester, 1990.
Noguchi, J.: Introduction to Complex Anylysis. AMS, Providence, 1997.

Doporučená literatura

Černý, I._: Anylýza v komplexním oboru. Academia, Praha, 1983.
Druckmuller, M., Svoboda, K.: Vybrané statě z matematiky I. FS VUT, Brno, 1986.
Druckmuller, M., Ženíšek, A.: Funkce komplexní proměnné. PC-DIR real, Brno, 2001.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program D-APM-K doktorský 1 ročník, letní semestr, doporučený kurs
  • Program D-APM-P doktorský 1 ročník, letní semestr, doporučený kurs

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

20 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. Mgr. Petr Vašík, Ph.D.

Osnova

1. týden: Funkce komplexní proměnné.
2. týden: Elementární funkce.
3. týden: Limita a spojitost funkce komplexní proměnné.
4. týden: Derivace funkce komplexní proměnné, holomorfní funkce.
5. týden: Integrál funkce komplexní proměnné.
6. týden: Cauchyova věta, Cauchyův integrální vzorec.
7. týden: Potenční řady.
8. týden: Taylorova řada, Laurentova řada.
9, týden: Izolované singularity, rezidua.
10. týden: Konformní zobrazení.
11. týden: Celé funkce.
12. týden: Princip maxima modulu.
13. týden: Meromorfní funkce.