Detail předmětu

Matematika pro aplikace

FSI-9MPAAk. rok: 2022/2023

Výklad bude směřovat napříč tradiční klasifikací matematických disciplín tak, aby respektoval potřeby a přání posluchačů. Bude veden interaktivní formou tak, aby přednášející mohl reagovat na podněty studentů. Globální pohled na problematiku umožní studentům vidět souvislosti mezi zdánlivě odlehlými odvětvími matematiky.

Jazyk výuky

čeština

Garant předmětu

doc. Mgr. Jaroslav Hrdina, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Výsledky učení předmětu

Studenti se seznámí se širokým okruhem matematických pojmů, které vystupují ve fyzikálních aplikacích, a to jak z oblasti matematické analýzy, tak algebry. Obeznámí se s derivacemi a parciálními derivacemi a jejich užitím při vyšetřování extrémů. Dalším tématem je neurčitý, určitý a vícerozměrný integrál v pojetí Riemannově a Lebesgueově. Dále budou na programu funkce komplexní proměnné. V neposlední řadě si studenti zrevidují důležité pojmy z lineární algebry.

Prerekvizity

Lineární algebra, diferenciální a integraální počet.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny.

Způsob a kritéria hodnocení

Předmět je ukončen zkouškou, která je ústní. Prověřuje se u ní znalost definic, vět a algoritmů a schopnost jejich užití na konkrétních aplikacích.

Učební cíle

Cílem předmětu je shrnutí, rozšíření a prohloubení znalostí matematiky z bakalářského a magisterského studia se zaměřením na aplikace, zejména ve fyzikálním inženýrství.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Účast na přednáškách je doporučená. Výuka probíhá podle týdenních rozvrhů. Je možné studovat individuálně podle doporučené literatury s využitím konzultací.

Základní literatura

A. A. Howard: Elementary Linear Algebra, Wiley 2002 (EN)
G. B. Arfken, V. J. Walker: Mathematical Methods for Physicists (4th ed.). Academic Press, 1995. (EN)
G. B. Thomas, R. L. Finney: Calculus and Analytic Geometry, Addison Wesley 2003 (EN)

Doporučená literatura

J. Karásek, L. Skula: Lineární algebra. Cvičení, Cerm 2005
J. Karásek, L. Skula: Lineární algebra. Teoretická část, Cerm 2005
J. Karásek, L. Skula: Obecná algebra, Cerm 2008
J. Karásek: Matematika II., Cerm 2002
J. Nedoma: Matematika I., Cerm 2001
M. Druckmüller, A. Ženíšek: Funkce komplexní proměnné, PC-Dir 2000

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program D-FIN-K doktorský 1 ročník, letní semestr, doporučený kurs
  • Program D-FIN-P doktorský 1 ročník, letní semestr, doporučený kurs

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

20 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. Mgr. Jaroslav Hrdina, Ph.D.

Osnova

(výběr bude vycházet ze zaměření doktorandů)

Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné
- Derivace, její geometrický a fyzikální význam
- Průběh funkce
- Taylorova řada
- Primitivní funkce
- Výpočet integrálů metodou substituční a per partes
- Riemanův určitý integrál - geometrický a fyzikální význam
- Lebesgueův integrál
- Delta funkce a teorie distribucí

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných
- Parciální derivace
- Totální diferenciál - aplikace ve fyzice
- Extrémy a sedlové body
- Diferenciální operátory gradient, divergence, rotace, laplacián - aplikace ve fyzice
- Geometrický a fyzikální význam dvojného a trojného integrálu
- Transformace souřadnic - jakobián
- Křivkový integrál, nezávislost na integrační cestě
- Plošný integrál
- Greenova, Gaussova a Stokesova věta - aplikace ve fyzice

Řady
- Číselné řady
- Řady funkcí
- Fourierovy řady

Analýza v komplexním oboru
- Holomorfní funkce
- Integrál v komplexním oboru, Cauchyova věta
- Taylorovy a Laurentovy řady, teorie reziduí
- Hilbertova transformace

Diferenciální rovnice
- Obyčejné lineární diferenciální rovnice
- Systémy obyčejných lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty
- Parciální diferenciální rovnice (Fourierova metoda, metoda charakteristik)
- Speciální funkce
- Greenovy funkce

Algebra
- Systémy lineárních rovnic
- Matice a determinanty
- Polynomy a řešení algebraických rovnic v komplexním oboru
- Grupy

Elementy funkcionální analýzy
- Prostor metrický, vektorový, unitární a Hilbertův
- Prostory funkcí
- Ortogonální systémy, ortogonální transformace (Fourierova)

Elementy variačního počtu