Detail předmětu

Funkce komplexní proměnné

FSI-SKF-AAk. rok: 2023/2024

Cilem kurzu je seznamit studenty se zaklady komplexni analyzy jedne promenne. Jeho obsah je nasledujici: komplexni cisla, elementarni funkce komplexni promenne, holomorfni funkce, derivace a krivkovy integral komplexni funkce, meromorfni funkce, Taylorova a Laurentova rada, reziduum a reziduova veta, aplikace reziduove vety na vypocet urcitych integralu. Konformni zobrazeni, homografie a dalsi priklady konformnich zobrazeni. Laplaceova transformace, zakladni vlastnosti, jednotkovy impuls a Diracova delta funkce, aplikace na reseni diferencialnich rovnic a systemu, Fourierova transformace.

Jazyk výuky

angličtina

Počet kreditů

6

Garant předmětu

prof. RNDr. Miloslav Druckmüller, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

Analýza v reálném oboru na úrovni základního kurzu

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Zápočet na základě testu
Zkouška písemná event. i ústní
Nahrazení zameškané výuky je možné absolvováním testu.

Učební cíle

Cilem predmetu je seznamit studenty se zakladnimi vlastnostmi komplexnich cisel a funkci komplexni promenne, s priklady aplikaci komplexni analyzy, a dale se zaklady operatoroveho poctu a jeho pouziti pri reseni fyzikalnich uloh.
Predmet Funkce komplexni promenne umoznuje studentum ziskat zakladni dovednosti v pouziti komplexnich cisel, vypoctu integralu pomoci rezidui, v pouziti konformnich zobrazeni a Laplaceovy a Fourierovy transformace.

Základní literatura

Druckmüller, M., Ženíšek, A.: Funkce komplexní proměnné, PC-Dir Real, Brno 2000
Markushevich A.,I., Silverman R., A.:Theory of Functions of a Complex Variable, AMS Publishing, 2005
Šulista M.: Základy analýzy v komplexním oboru. SNTL Praha 1981

Doporučená literatura

Shanti, N.: Theory of Functions of a Complex Variable , S Chand & Co Ltd 2018

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program N-MAI-A magisterský navazující 1 ročník, letní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Ing. Tomáš Kisela, Ph.D.

Osnova

1. Komlexní čísla, základní operace a jejich geometrická interpretace. Množiny komplexních čísel.
2. Funkce komplexní proměnné. Limita a spojitost. Elementární funkce komplexní proměnné.
3. Derivace funkce komplexní proměnné, holomorfní funkce, Cauchy-Riemannovy rovnice.
4. Harmonická funkce. Způsob výpočtu konjugované harmonické funkce. Geometrický význam funkce komplexní proměnné a její derivace.
5. Posloupnosti a řady komplexních čísel. Mocninné řady. Stejnoměrná konvergence řad funkcí.
6. Integrál funkce komplexní proměnné, vztah k reálnému křivkovému integrálu druhého druhu. Způsoby výpočtu, výpočet integrálu z m-té mocniny po kružnici se středem v počátku.
7. Index křivky vzhledem k bodu. Cauchyho integrální věta. Existence primitivní funkce na jednoduše souvislé oblasti.
8. Cauchyho vzorce a jejich aplikace. Liouvilleova věta, vlastnost průměru, princip maxima modulu, základní věta algebry.
9. Věta o jednoznačnosti analytických funkcí a její aplikace. Nulové body holomorfních funkcí.
10. Izolované singulární body, klasifikace singularit. Meromorfní funkce, Laurentova řada.
11. Integrály z meromorfních funkcí. Rezidua a Reziduová věta. Příklady křivkových a reálných integrálů-použití reziduové věty.
12. Konformní zobrazení. Homografie a jejich základní vlastnosti. Blaschkeho faktor, zobrazování kružnic a přímek na sebe. Další příklady konformních zobrazení.
13. Laplaceova transformace. Definice a základní vlastnosti. Heavisideova funkce jednotkového kroku. Jednotkový impuls a Diracova delta funkce.
Posouvání a násobení exponenciálou. Použití Laplaceovy transformace na řešení obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu.

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Ing. Tomáš Kisela, Ph.D.

Osnova

1. Algebra komplexních čísel, převody mezi různými tvary, výpočet mocnin a odmocnin pomocí Moivreovy věty.2. Geometrie v Gaussově rovině, popis kružnice, přímky atd., řešení nerovnic v komplexních číslech. Vlastnosti elementárních funkcí.3. Výpočet komplexní derivace, ověřování Cauchy-Riemannových rovnic.4. Výpočet konjugované harmonické funkce, geometrický význam derivace funkce komplexní proměnné.5. Posloupnosti a řady komplexních čísel, mocninné řady, poloměr konvergence.6. Stejnoměrná konvergence řad funkcí, Weierstrassovo kriterium.7. Výpočet křivkového integrálu pomocí parametrizace a pomocí primitivní funkce.8. Výpočet indexu křivky. Integrování pomocí Cauchyho vzorců.9. Rozvoje holomorfních funkcí do mocninných řad. Rozvoje racionálních funkcí v různých bodech. Výpočet poloměru konvergence.10. Výpočty integrálů z meromorfních funkcí pomocí reziduové věty. Rozvoje do Laurentovy řady.11. Integrování reálných funkcí pomocí Reziduové věty.12. Konformní zobrazení. Zobrazování oblastí omezených přímkami a kružnicemi na sebe.13. Laplaceova transformace jednoduchých funkcí. Goniometrické a hypergeometrické funkce, Diracova delta funkce.