Detail předmětu
Funkce komplexní proměnné
FSI-SKF-AAk. rok: 2023/2024
Cilem kurzu je seznamit studenty se zaklady komplexni analyzy jedne promenne. Jeho obsah je nasledujici: komplexni cisla, elementarni funkce komplexni promenne, holomorfni funkce, derivace a krivkovy integral komplexni funkce, meromorfni funkce, Taylorova a Laurentova rada, reziduum a reziduova veta, aplikace reziduove vety na vypocet urcitych integralu. Konformni zobrazeni, homografie a dalsi priklady konformnich zobrazeni. Laplaceova transformace, zakladni vlastnosti, jednotkovy impuls a Diracova delta funkce, aplikace na reseni diferencialnich rovnic a systemu, Fourierova transformace.
Jazyk výuky
Počet kreditů
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Vstupní znalosti
Pravidla hodnocení a ukončení předmětu
Zkouška písemná event. i ústní
Nahrazení zameškané výuky je možné absolvováním testu.
Učební cíle
Predmet Funkce komplexni promenne umoznuje studentum ziskat zakladni dovednosti v pouziti komplexnich cisel, vypoctu integralu pomoci rezidui, v pouziti konformnich zobrazeni a Laplaceovy a Fourierovy transformace.
Základní literatura
Markushevich A.,I., Silverman R., A.:Theory of Functions of a Complex Variable, AMS Publishing, 2005
Šulista M.: Základy analýzy v komplexním oboru. SNTL Praha 1981
Doporučená literatura
Zařazení předmětu ve studijních plánech
- Program N-MAI-A magisterský navazující 1 ročník, letní semestr, povinný
Typ (způsob) výuky
Přednáška
Vyučující / Lektor
Osnova
2. Funkce komplexní proměnné. Limita a spojitost. Elementární funkce komplexní proměnné.
3. Derivace funkce komplexní proměnné, holomorfní funkce, Cauchy-Riemannovy rovnice.
4. Harmonická funkce. Způsob výpočtu konjugované harmonické funkce. Geometrický význam funkce komplexní proměnné a její derivace.
5. Posloupnosti a řady komplexních čísel. Mocninné řady. Stejnoměrná konvergence řad funkcí.
6. Integrál funkce komplexní proměnné, vztah k reálnému křivkovému integrálu druhého druhu. Způsoby výpočtu, výpočet integrálu z m-té mocniny po kružnici se středem v počátku.
7. Index křivky vzhledem k bodu. Cauchyho integrální věta. Existence primitivní funkce na jednoduše souvislé oblasti.
8. Cauchyho vzorce a jejich aplikace. Liouvilleova věta, vlastnost průměru, princip maxima modulu, základní věta algebry.
9. Věta o jednoznačnosti analytických funkcí a její aplikace. Nulové body holomorfních funkcí.
10. Izolované singulární body, klasifikace singularit. Meromorfní funkce, Laurentova řada.
11. Integrály z meromorfních funkcí. Rezidua a Reziduová věta. Příklady křivkových a reálných integrálů-použití reziduové věty.
12. Konformní zobrazení. Homografie a jejich základní vlastnosti. Blaschkeho faktor, zobrazování kružnic a přímek na sebe. Další příklady konformních zobrazení.
13. Laplaceova transformace. Definice a základní vlastnosti. Heavisideova funkce jednotkového kroku. Jednotkový impuls a Diracova delta funkce.
Posouvání a násobení exponenciálou. Použití Laplaceovy transformace na řešení obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu.
Cvičení
Vyučující / Lektor
Osnova