Detail předmětu
Parciální diferenciální rovnice
FSI-SPDAk. rok: 2023/2024
Obsah předmětu je následující: Obyčejné diferenciální rovnice - stručné opakování látky z 3. semestru a její doplnění (věty o existenci a jednoznačnosti řešení, stabilita řešení, okrajové úlohy).
Parciální diferenciální rovnice - základní pojmy. Rovnice prvního řádu. Cauchyova úloha pro rovnici k-tého řádu. Transformace, klasifikace a kanonický tvar rovnic druhého řádu.
Odvození vybraných rovnic matematické fyziky (vedení tepla v tyči a tělese, kmitání struny, vlnová rovnice v prostředí dimenze 1, 2, 3 a odvození z variačního principu) formulace počátečních a okrajových úloh.
Klasické metody: metoda charakteristik, Fourierova metoda řad, metoda integrální transformace, metoda Greenovy funkce. Principy maxima. Vlastnosti řešení eliptických, parabolických a hyperbolických rovnic.
Jazyk výuky
Počet kreditů
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Vstupní znalosti
Pravidla hodnocení a ukončení předmětu
Písemka 1: příklady z ODR: (a) řešení rovnice 1. řádu, (b) řešení lineární rovnice 2. řádu (c) řešení soustavy 2 rovnic 1. řádu - stabilita, klasifikace trajektorií.
Písemka 2: příklady z PDR: (a) řešení kvazilineární rovnice 1. řádu, (b) klasifikace a převod na kanonický tvar rovnice 2. řádu. (c) Formulace počáteční okrajové úlohy z fyzikálního zadání, převod na homogenní úlohu a její řešení Fourierovou metodou řad).
Zkouška se skládá z praktické a teoretické části. Praktická část: příklady z PDR - viz písemka 2. Teoretická část: 1 otázka z látky ODR a 3 otázky z látky PDR.
V případě absence student si musí doplnit zameškanou látku samostudiem ze skript. Nutné úspěšné absolvování písemných prací; v případě špatného výsledku nebo absence v náhradním termínu.
Učební cíle
Prohloubení znalostí z obyčejných diferenciálních rovnic. Základy teorie parciálních diferenciálních rovnic a přehled o možnostech jejich využití při matematickém modelování. Dovednost sestavit matematický model konkrétních vybraných fyzikálních situací a spočítat řešení, případně sestavit algoritmus pro výpočet řešení přibližného.
Základní literatura
L. C. Evans: Partial Differential Equations, AMS, Providence 1998
V. J. Arsenin: Matematická fyzika, Alfa, Bratislava 1977
W. E. Williams: Partial differential equations,
Doporučená literatura
J. Škrášek, Z. Tichý: Základy aplikované matematiky II, SNTL, Praha 1986 (CS)
K. Rektorys: Přehled užité matematiky II., Prometheus 1995 (CS)
V. J. Arsenin: Matematická fyzika, Alfa, Bratislava 1977. (SK)
Elearning
Zařazení předmětu ve studijních plánech
- Program B-MAI-P bakalářský 3 ročník, zimní semestr, povinný
Typ (způsob) výuky
Přednáška
Vyučující / Lektor
Osnova
1. Opakování látky z ODR - rovnice 1.řádu, lineární ODR vyšších řádů.
2. Soustavy lineárních ODR, existence a jednoznačnost řešení.
3. Kontrolní práce z ODR. Základní pojmy z PDR. 4. rovnice 1. řádu.
5. Cauchyova úloha, klasifikace rovnic 2. řádu.
6. Rovnice matematické fyziky: odvození rovnice vedení tepla.
7. Odvození rovnice kmitání struny a vlnové rovnice.
8. Odvození rovnice průhybu membrany z variačního principu.
9. Metoda charakteristik pro vlnovou rovnici.
10. Fourierova metoda řad.
11. Metoda integrální transformace. Kontrolní práce z PDR.
12. Metoda Greenovy funkce a principy maxima.
13. Vlastnosti řešení, rezerva.
Cvičení
Vyučující / Lektor
Osnova
2. Řešení lineárních soustav ODR, vyšetřování stability řešení.
3. Fázový portrét řešení a klasifikace singulárních trajektorií.
4. PDR, řešení rovnic 1. řádu.
5. Písemná práce 1, klasifikace rovnic 2. řádu.
6. Formulace konkrétních úloh pro rovnici vedení tepla.
7. Formulace počáteční okrajové úlohy pro vlnové rovnice.
8. Odvození rovnice průhybu membrány z variačního principu.
9. Výpočet řešení metodou charakteristik.
10. Výpočet řešení Fourierovou metoda řad.
11. Písemná práce 2.
12. Užití metody Greenovy funkce, harmonické funkce.
13. Vlastnosti řešení, zápočet.
Elearning