Detail předmětu

Numerická matematika II

FSI-9NM2Ak. rok: 2023/2024

Kurz je věnován numerickému řešení diferenciálních rovnic. Nejdříve jsou vyloženy metody pro řešení počátečních úloh (jednokrokové Rungovy-Kuttovy metody, lineární mnohokrokové metody (Adamsovy a zpětného derivování), řešení soustav se silným tlumením). Následují metody řešení okrajových úloh (diferenční metoda, metoda konečných objemů a metoda konečných prvků). Principy metod jsou vysvětleny na 1D okrajové úloze druhého řádu. Hlavní pozornost je věnována metodě konečných prvků ve 2D. Uvažují se tyto modelové úlohy: eliptická (stacionární vedení tepla), parabolická (nestacionární vedení tepla) a hyperbolická (kmitání membrány včetně problému vlastních čísel).

Jazyk výuky

čeština

Garant předmětu

doc. Ing. Petr Tomášek, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

Lineární algebra, vektorový počet, integrální a diferenciální počet, základy programování.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Zkouška je ústní. U zkoušky je položena jedna otázka z okruhu numerického řešení počátečních úloh pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic a další jedna až dvě otázky z okruhu numerického řešení rovnic parciálních (z nich jedna vždy na metodu konečných prvků). Důraz je kladen na pochopení podstaty metod, formule není třeba znát zpaměti, je však třeba jim rozumět a umět pomocí nich vyložit "jak metoda pracuje".
Účast na přednáškách je žádoucí, nikoliv však povinná.

Učební cíle

Smyslem kurzu je naučit posluchače základní principy moderních výpočtových metod používaných pro řešení úloh popsaných diferenciálními rovnicemi. To jim umožní, aby si správně vybrali z neobyčejně široké nabídky hotových programů nabízených na trhu (výjimečně aby si takový program sami napsali) a aby tyto programy uměli s rozmyslem a efektivně využívat.
Mnoho inženýrských problémů vede na řešení diferenciálních rovnic, obyčejných nebo parciálních. Dovednosti získané v tomto kurzu vybaví jeho absolventy nezbytným minimem znalostí základních výpočetních technik používaných v současných programových systémech určených pro řešení diferenciálních rovnic.

Základní literatura

K.J. Bathe: Finite Elemets Procedures. Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ, 1996.
O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor: The Finite Element Method. Volumes I,II,III. Butterworth-Heinemann, Oxford, 2000.
V. Kolář, J. Kratochvíl, F. Leitner, A. Ženíšek: Výpočet plošných a prostorových konstrukcí metodou konečných prvků. SNTL, Praha, 1979.

Doporučená literatura

L. Čermák: Algoritmy metody konečných prvků. Skripta FSI VUT v Brně, PC-DIR Real, Brno, 2000. http://mathonline.fme.vutbr.cz/Numericke-metody-III/sc-1151-sr-1-a-142/default.aspx
L. Čermák: Numerické metody II. Skripta FSI VUT v Brně, CERM, Brno, 2004.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program D-ENE-P doktorský 1 ročník, letní semestr, doporučený kurs
  • Program D-ENE-K doktorský 1 ročník, letní semestr, doporučený kurs

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

20 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Petr Tomášek, Ph.D.

Osnova

Předmět má 10 dvohodinových přednášek.
1. Rungovy-Kuttovy: základní pojmy (diskretizační chyba, stabilita,...), formule řádu 1 a 2.
2. Další Rungovy-Kuttovy formule (řádů 3-5), řízení délky kroku.
3. Adamsovy metody, technika prediktor-korektor.
4. Metody zpětného derivování. Stiff systémy ODR.
5. Metody: diferenční, konečných objemů, konečných prvků v 1D.
6. Stacionární 2D úloha: klasická a variační formulace, lineární trojúhelníkový element.
7. Matice tuhosti, vektor zatížení.
8. Sestavení soustavy rovnic. Minimalizační formulace.
9. Nestacionární 2D úlohy : vedení tepla, kmitání membrány, vlastní čísla.
10. Izoparametrické prvky.