Detail předmětu

Matematika 5 (V)

FAST-NAA017Ak. rok: 2023/2024

Základy numerické matematiky, zejména interpolace a aproximace funkcí, numerické derivování a integrování, řešení algebraických a diferenciálních rovnic a jejich soustav.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

4

Garant předmětu

prof. Ing. Jiří Vala, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky a deskriptivní geometrie (MAT)

Vstupní znalosti

Základní kurzy matematiky v BSP, programování v jazyku MATLAB (v rozsahu volitelného kurzu na ústavu MAT).

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.

Učební cíle

Pochopit základní principy numerických výpočtů a seznámit se s faktory, které ovlivňují numerické výpočty. Umět řešit vybrané základní úlohy numerické matematiky. Pochopit princip iteračních metod řešení rovnice f(x)=0 a systémů lineárních algebraických rovnic, zvládnout výpočetní algoritmy. Seznámit se s problematikou interpolace a aproximace funkcí a naučit se úlohy prakticky řešit. Znát principy numerické derivace a umět numericky řešit okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice. Naučit se numerickým výpočtům určitých integrálů.
Výstupem předmětu jsou znalosti a schopnosti, které studentům umožní pochopení základních numerických úloh a myšlenek, na nichž jsou založeny algoritmy jejich řešení. Ve své bodoucí praxi v oboru svého studia budou schopni posoudit použitelnost numerických metod pro řešení technických problémů a efektivně používat existujících univerzálních programových systémů pro řešení základních typů numerických úloh i jejich budoucích zdokonalení.

Základní literatura

DALÍK J.: Numerické metody. CERM Brno 1997. (CS)
VALA J.: Numerická matematika. FAST VUT v Brně 2021. (CS)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program NPC-SIV magisterský navazující 1 ročník, zimní semestr, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. Mgr. Ing. Miroslav Trcala, Ph.D.

Osnova

1. Chyby v numerických výpočtech. Kontraktivní zobrazení, aplikace na řešení nelineárních algebraických rovnic: metoda prosté iterace, Newtonova metoda, metoda sečen. 2. Přímé metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic, zejména multiplikativní rozklady: LU rozklad, Choleského rozklad, princip QR rozkladu. 3. Iterační a relaxační metody pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic, zejména Jacobiho a Gaussova-Seidelova metoda včetně relaxace. 4. Metoda sdružených gradientů, zejména pro soustavy lineárních algebraických rovnic. Newtonova metoda pro nelineární soustavy. 5. Podmíněnost soustav rovnic. Metoda nejmenších čtverců: princip, diskrétní případ. 6. Lagrangeův interpolační polynom, zejména Newtonův tvar. Hermiteův interpolační polynom. 7. Kubické splajny: princip pro lagrangeovské splajny, výpočty pro hermiteovské splajny. 8. Numerické derivování. Metoda konečných diferencí, aplikace na okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu. 9. Numerické integrování: obdélníkové, lichoběžníkové a Simpsonovo pravidlo včetně odhadu chyby aproximace. Princip vícerozměrného numerického integrování. 10. Metoda konečných prvků, aplikace na okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu. 11. Časově závislé úlohy: Eulerova implicitní a explicitní metoda, metoda Crankova-Nicolsonové a Rungeho-Kuttovy metody, aplikace na počáteční úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu. 12. Pokračování a dokončení předchozích témat, poznámky k inženýrským aplikacím. 13. Metoda konečných prvků pro parciální diferenciální rovnice, příklad rovnice přenosu tepla.

Cvičení

13 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Vladislav Kozák, CSc.
doc. Mgr. Ing. Miroslav Trcala, Ph.D.

Osnova

1.-2. Úvod do MATLABu: prostředí MATLABu, MATLAB online, přiřazování do proměnných, dvojtečka, operace s čísly a vektory, kreslení, komentáře, nápověda MATLABu, cyklus for-end a podmínka if-else-end. Zadání individuální semestrální práce. 3.-4. Opakování metod pro řešení 1 nelineární rovnice: graf funkce a odhad kořene, skript pro 1 konkrétní příklad a metodu bisekce, zobecnění pro libovolnou funkci a počáteční vstupy (for, if, plot, anonymní funkce). 5.-7. Implementace iteračních metod pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic: operace s maticemi (*, .*, +, inv, det, size a podobné), norma vektoru, tvorba řešiče pro soustavu s dolní trojúhelníkovou maticí, pomocí něj tvorba skriptu pro Gaussovu-Seidelovu metodu v maticovém zápisu, vytvoření funkce včetně ověření vstupů (diagonální dominance apod.). 8.-9. Aproximace funkcí: metoda nejmenších čtverců maticově, využití připravené Gaussovy-Seidelovy iterace pro řešení normální rovnice, Lagrangeova interpolace – tvar polynomu a nalezení koeficientů, možná vazba na numerické integrování složeným lichoběžníkovým pravidlem. 11.-12. Obyčejné diferenciální rovnice: explicitní a implicitní Eulerova metoda pro řád 1, metoda konečných diferencí pro řád 2, využití připraveného řešiče soustav lineárních algebraických rovnic, porovnání s metodou konečných prvků. 13. Zhodnocení semestrální práce.