Přístupnostní navigace
E-přihláška
Vyhledávání Vyhledat Zavřít
Detail předmětu
CESA-SMA2Ak. rok: 2023/2024
Diferenciální počet funkcí více proměnných, definiční obor, limita, spojitost, parciální a směrové derivace, gradient, diferenciál, tečná rovina, funkce zadané implicitně. Obyčejné diferenciální rovnice, existence a jednoznačnost řešení, rovnice prvního řádu se separovanými proměnnými a lineární rovnice prvního řádu, rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty. Analýza v komplexním oboru, holomorfní funkce, derivace, parametrizace křivky, křivkový integrál, Cauchyova věta, Cauchyův vzorec, Laurentova řada, singulární body, rezidua, reziduová věta. Laplaceova transformace, přímá a zpětná, řešení diferenciální rovnice s počátečními podmínkami. Signály a impulsy, speciální a zobecněné funkce, Laplaceovy obrazy signálů s konečnými impulsy. Fourierovy řady periodických funkcí, ortogonální systém funkcí, trigonometrický systém funkcí, Fourierova řada v komplexním tvaru. Fourierova transformace, přímá a zpětná, Fourierovy obrazy speciálních funkcí. Z-transformace, přímá a zpětná, řešení diferenční rovnice s počátečními podmínkami.
Jazyk výuky
Počet kreditů
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Vstupní znalosti
Jsou požadovány znalosti na úrovni středoškolského studia a předmětu Matematika 1. K dobrému zvládnutí látky předmětu je zapotřebí umět určovat definiční obory běžných funkcí jedné proměnné, pochopení pojmu limity funkce jedné proměnné, číselné posloupnosti a její limity a řešit konkrétní standardní úlohy. Dále je nutná znalost pravidel pro derivování reálných funkcí jedné proměnné, znalost základních postupů a metod integrování (rozklad na parciální zlomky, integrace per partes, metoda substituce) u neurčitého i určitého integrálu a tyto umět aplikovat na úlohy v rozsahu skript předmětu Matematika 1. Rovněž je požadována znalost nekonečných číselných řad a základních kriterií jejich konvergence, tak i mocninných řad a hledání oborů jejich konvergence
Pravidla hodnocení a ukončení předmětu
Učební cíle
Cílem předmětu je seznámit studenty se základy diferenciálního počtu funkcí více proměnných a s některými obecnými metodami řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Dalším cílem je naučit studenty vhodně používat známe matematické transformace (Laplaceovou, Fourierovou a Z-transformaci) a tím jim dát návod k alternatívnímu způsobu řešení diferenciálních a diferenčních rovnic hojně využívaného právě v technických oborech. Osvojením si základů komplexní analýzy (zejména základních metod integrace v komplexním oboru) získá student dobrý nástroj při řešení některých konkrétních úloh v elektrotechnice. Studenti by po absolvování předmětu měli znát základní pojmy a odpovídající souvislosti, dále pak: - umět najít a znázornit definiční obor funkce dvou proměnných;- spočítat parciální derivace libovolného řádu u libovolné (i implicitně zadané) funkce více proměnných;- najít tečnou rovinu k ploše zadané pomocí funkce dvou proměnných;- řešit separované a lineární diferenciální rovnice prvního řádu;- vyřešit klasickým způsobem diferenciální rovnici n-tého řádu s konstantními koeficienty včetně speciální pravé strany; - rozložit komplexní funkci na reálnou a imaginární složku a určit funkční hodnoty komplexních funkcí;- najít druhou složku komplexní holomorfní funkce a určit tuto funkci v komplexní proměnné včetně její derivace; - spočítat integrál z komplexní funkce přes křivku pomocí parametrizace křivky, Cauchyho věty nebo Cauchyho vzorce;- umět najít singulární body komplexní funkce a spočítat jejich rezidua;- spočítat integrál z komplexní funkce pomocí reziduové věty;- vyřešit pomocí Laplaceovy transformace diferenciální rovnici n-tého řádu s konstantními koeficienty;- najít Fourierovu řadu periodické funkce;- vyřešit pomocí Z-transformace diferenční rovnici n-tého řádu s konstantními koeficienty
Základní literatura
Elearning
Zařazení předmětu ve studijních plánech
Přednáška
Vyučující / Lektor
Osnova
1. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Definiční obor, limita, spojitost, parciální a směrové derivace, gradient, diferenciál, tečná rovina, funkce zadané implicitně.
2. Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu. Základní pojmy, existence a jednoznačnost řešení, geometrická interpretace rovnice, rovnice se separovanými proměnnými a lineární rovnice.
3. Obyčejné diferenciální rovnice n-tého řádu. Základní pojmy, lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty včetně speciální pravé strany.
4. Úvod do komplexní analýzy. Komplexní čísla a základní operace v komplexním oboru, důležité množiny komplexní roviny.
5. Komplexní funkce, její limita, spojitost a derivace. Speciální případy komplexních funkcí, algebraický rozklad funkce, elementární komplexní funkce, holomorfní funkce, Cauchy-Riemanovy podmínky, L'Hospitalovo pravidlo.
6. Integrální počet v komplexním oboru - I. část. Křivka v komplexní rovině, parametrizace známých křivek, integrál komplexní funkce po křivce, výpočet integrálu po křivce parametrizací křivky.
7. Integrální počet v komplexním oboru - II. část. Výpočet integrálu pomocí Cauchyho věty a Cauchyho vzorců.
8. Integrální počet v komplexním oboru - III. část. Laurentova řada, singulární body a jejich klasifikace, pojem rezidua a výpočet integrálu pomocí reziduové věty.
9. Přímá a zpětná Laplaceova transformace. Vlastnosti transformace, využití Laplaceovy transformace při řešení diferenciálních rovnic.
10. Signály a impulsy, speciální a zobecněné funkce. Konečné a Diracovy impulsy, Heavisideova funkce, jehlová funkce, zobecněná derivace, hledání Laplaceovvých obrazů jednoduchých signálů s konečnými impulsy.
11. Fourierovy řady periodických funkcí. Periodické funkce, nekonečný ortogonální systém funkcí, Fourierovy řady pro funkce se speciální i obecnou periodou, Fourierovy řady v komplexním tvaru.
12. Přímá a zpětná Fourierova transformace. Vlastnosti transformace, hledání Fourierových obrazů některých speciálních funkcí (signálů), využití Fourierovy transformace při řešení diferenciálních rovnic.
13. Přímá a zpětná Z-transformace. Vlastnosti transformace, diferenční rovnice a využití Z-transformace při řešení diferenčních rovnic.
Cvičení odborného základu
2. Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu - I. část. Rovnice se separovanými proměnnými.
3. Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu - II. část. Lineární rovnice.
4. Obyčejné diferenciální rovnice n-tého řádu. Rovnice s konstantními koeficienty včetně speciální pravé strany.
5. Úvod do komplexní analýzy. Komplexní čísla a základní operace s komplexními čísly, komplexní funkce a jejich algebraický rozklad včetně určování funkčních hodnot komplexních funkcí.
6. Derivace v komplexním oboru. Cauchy-Riemanovy podmínky a určování druhé složky holomorfní funkce.
7. Integrální počet v komplexním oboru - I. část. Křivka v komplexní rovině, parametrizace známých křivek, výpočet integrálu po křivce parametrizací křivky.
8. Integrální počet v komplexním oboru - II. část. Výpočet integrálu pomocí Cauchyho věty a Cauchyho vzorců.
9. Integrální počet v komplexním oboru - III. část. Singulární body a jejich klasifikace, rezidum funkce a výpočet integrálu pomocí reziduové věty.
10. Přímá a zpětná Laplaceova transformace. Vlastnosti transformace, využití Laplaceovy transformace při řešení diferenciálních rovnic.
11. Fourierovy řady periodických funkcí. Fourierovy řady pro funkce se speciální i obecnou periodou.
12. Přímá a zpětná Z-transformace. Vlastnosti transformace, diferenční rovnice a využití Z-transformace při řešení diferenčních rovnic.
Cvičení s počítačovou podporou