Detail předmětu

Matematická analýza III

FSI-SA3Ak. rok: 2024/2025

Předmět Matematická analýza III seznámí studenty oboru Matematické inženýrství se základy teorie nekonečných řad a obyčejných diferenciálních rovnic. Znalost teorie diferenciálních rovnic a metod jejich řešení je nezbytným předpokladem a nepostradatelným základem nejen pro další studium matematiky, ale i pro fyzikální a technické disciplíny. Nekonečné řady jsou důležitým prostředkem pro nejrůznější matematické a fyzikální výpočty, a mají četné praktické využití. Předmět zahrnuje následující témata:
Číselné řady. Funkční řady. Mocninné řady.
Taylorovy řady a rozvoje funkcí v Taylorovy řady. Fourierovy řady a rozvoje funkcí ve Fourierovy řady.
Obyčejné diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice prvního řádu.
Lineární diferenciální rovnice vyšších řádů. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu. Teorie stability.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

7

Garant předmětu

prof. RNDr. Jan Čermák, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

Lineární algebra, diferenciální a integrální počet funkcí jedné a více proměnných.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Podmínky udělení zápočtu: Aktivní účast ve cvičení. Splnění všech
podmínek průběžné kontroly znalostí. Získání minimálně poloviny všech možných 40 bodů z obou kontrolních prací, z nichž první se koná v sedmém a druhá ve dvanáctém výukovém týdnu. Pokud student tuto podmínku nesplní, lze v odůvodněných případech stanovit podmínku náhradní.

Zkouška: Zkouška prověřuje znalosti definic a vět (zejména schopnost jejich užití na vybraných úlohách) a praktickou dovednost při řešení příkladů. Zkouška je písemná a ústní, písemná část (90 minut) se skládá z 12 příkladů. 

Témata písemné části zkoušky: Číselné, funkční, mocninné a Fourierovy řady, ODR a jejich vlastnosti, řešení ODR metodou nekonečných řad a pomocí Laplaceovy transformace, ortogonální trajektorie, stabilita, autonomní systémy.

Do klasifikačního hodnocení se zahrnuje výsledek písemné a ústní části zkoušky (maximálně 100 bodů).
Klasifikační hodnocení studenta: výborně (90-100 bodů), velmi dobře (80-89 bodů), dobře (70-79 bodů), uspokojivě (60-69 bodů), dostatečně (50-59 bodů), nevyhovující (0-49 bodů).


Účast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je povinná a kontrolovaná. Výuka probíhá dle týdenních plánů rozvrhů. Stanovení způsobů náhrady zmeškané výuky je v kompetenci vedoucího cvičení.

Učební cíle

Cílem kurzu je seznámit studenty se základními pojmy teorie
obyčejných diferenciálních rovnic a teorie nekonečných řad. Úkolem
je naučit studenty elementární metody řešení diferenciálních rovnic
a jejich systémů a seznámit je s využitím nekonečných řad.
V kurzu Matematická analýza III studenti zvládnou elementární metody
řešení obyčejných diferenciálních rovnic prvního i vyšších řádů, včetně
lineárních systémů. Dále jsou seznámeni s kritérii konvergence řad, odhady zbytků řad a metodami rozvoje funkcí do mocninných a Fourierových řad.

Základní literatura

Fichtengolc, G.M.: Kurs differencialnogo i integralnogo isčislenija, tom II, Moskva, 1966.
Fichtengolc, G.M.: Kurs differencialnogo i integralnogo isčislenija, tom III, Moskva, 1966.
Hartman, P.: Ordinary differential equations, New York, 1964.

Doporučená literatura

Čermák, J., Nechvátal, L.: Matematika III, Brno, 2016. (CS)
Čermák, J.: Sbírka příkladů z Matematické analýzy III a IV, Brno, 1998.
Kalas, J., Ráb, M.: Obyčejné diferenciální rovnice, Brno, 1995.
Ženíšek, A.: Vybrané kapitoly z matematické analýzy, Brno, 1997.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program B-FIN-P bakalářský 2 ročník, zimní semestr, povinný
  • Program B-MAI-P bakalářský 2 ročník, zimní semestr, povinný

  • Program C-AKR-P celoživotní vzdělávání v akr. stud. programu

    specializace CZS , 1 ročník, zimní semestr, volitelný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Jan Čermák, CSc.

Osnova

1. Číselné řady. Kritéria konvergence. Absolutní a neabsolutní konvergence.
2. Funkční a mocninné řady. Typy konvergence a základní vlastnosti.
3. Taylorovy řady a rozvoje funkcí v Taylorovy řady.
4. Fourierovy řady. Otázky konvergence a rozvoje funkcí.
5. ODR. Základní pojmy. Počáteční a okrajový problém.
6. Analytické metody řešení ODR 1. řádu. Otázka existence a jednoznačnosti řešení.
7. ODR vyššího řádu. Vlastnosti a metody řešení homogenní lineární ODR vyššího řádu.
8. Vlastnosti a metody řešení nehomogenní lineární ODR vyššího řádu.
9. Soustavy ODR 1. řádu. Vlastnosti a metody řešení homogenních lineárních soustav 1. řádu.
10. Vlastnosti a metody řešení nehomogenních lineárních soustav 1. řádu                                                                                                          11. Laplaceova transformace a její užití při řešení lineárních ODR.
12. Okrajový problém pro ODR 2. řádu.                                                    13. Metody nekonečných řad při řešení počátečních a okrajových problémů pro ODR.         

Cvičení

33 hod., povinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Jan Čermák, CSc.
doc. Ing. Luděk Nechvátal, Ph.D.

Osnova

1. Limity a integrály-opakování.
2. Číselné řady.
3. Funkční řady.
4. Mocninné řady.
5. Taylorovy řady.
6. Fourierovy řady.
7. Analytické metody řešení ODR 1. řádu.
8. Aplikace ODR1.
9. Homogenní lineární ODR vyššího řádu.
10. Nehomogenní lineární ODR vyššího řádu.
11. Aplikace lineárních ODR vyššího řádu.
12. Homogenní soustavy lineárních ODR 1. řádu.
13. Nehomogenní soustavy lineárních ODR 1. řádu.

Cvičení s počítačovou podporou

6 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Jan Čermák, CSc.

Osnova

Cvičení probíhá na bázi programu MAPLE v počítačové učebně. Tento typ výuky je zaměřen na počítačovou podporu zejména následujících témat: 1. Funkční řady - grafické ilustrace typů konvergence u probíraných řad (se zaměřením na řady Taylorovy a Fourierovy). 2. ODR - grafické metody řešení (směrová pole), geometrická interpretace jednotlivých typů řešení (fázový portrét řešení), metoda Taylorových řad, geometrické aplikace (ortogonální trajektorie a další).