Detail předmětu

Vybrané kapitoly z matematiky I

FSI-T1KAk. rok: 2024/2025

Kurs obsahuje vybrané kapitoly z funkcionální analýzy nutné pro fyzikální aplikace. Zabývá se prostory funkcí, ortogonálními systémy funkcí a ortogonálními transformacemi a jejich aplikacemi ve fyzice.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

3

Garant předmětu

prof. RNDr. Miloslav Druckmüller, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

Analýza v reálném a komplexním oboru

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Zápočet na základě testu
Zkouška písemná  i ústní


Nahrazení zameškané výuky je možné absolvováním testu.

Učební cíle

Kurs rozšiřuje základní kurs matematické algebry a analýzy o vybrané oblasti nutné ve fyzikálních aplikacích.


Základy funkcionální analýzy, metrické, vektorové a unitární prostory, Hilbertův prostor, ortogonální systémy funkcí, Fourierovy řady, ortogonální transformace, Fourierova transformace, fyzikální aplikace uvedených oblastí

Základní literatura

Kolmogorov,A.N.,Fomin,S.V.: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL Praha 1975 (CS)
Lang, S. Real and Functional Analysis. Third Edition, Springer-Verlag 1993 (EN)

Doporučená literatura

Kolmogorov,A.N.,Fomin,S.V.: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL Praha 1975

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program B-FIN-P bakalářský 2 ročník, letní semestr, povinný

  • Program C-AKR-P celoživotní vzdělávání v akr. stud. programu

    specializace CLS , 1 ročník, letní semestr, volitelný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Miloslav Druckmüller, CSc.

Osnova

1. Relace, ekvivalence, faktor množina, grupa izomorfizmus
2. Metrický prostor, úplný metrický prostor, zúplnění
3. Kontrakce, Banachova věta a její aplikace
4. Vektorový prostor, báze, dimenze, izomorfizmus
5. Automorfizmus vektorových prostorů, vlastní vektory a vlastní čísla
6. Normovaný prostor, unitární prostor
7. Ortogonální a ortonormální báze, isomorfizmus
8. Hilbertův prostor, isomorfizmus, prostory L2 a l2
9. Ortonormální báze fukcí, Fourierovy řady
10. Komplexní tvar Fourierovy řady, diskrétní Fourierova transformace
11. Užití Fourierovy transformace, věta o konvoluci
12. Prostor L2 pro funkce více proměnných
13. Operátory a funkcionály na Hilbertově prostoru

 

Cvičení

13 hod., povinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Miloslav Druckmüller, CSc.

Osnova

1. Relace, ekvivalence, faktor množina, grupa izomorfizmus
2. Metrický prostor, úplný metrický prostor, zúplnění
3. Kontrakce, Banachova věta a její aplikace
4. Vektorový prostor, báze, dimenze, izomorfizmus
5. Automorfizmus vektorových prostorů, vlastní vektory a vlastní čísla
6. Normovaný prostor, unitární prostor
7. Ortogonální a ortonormální báze, isomorfizmus
8. Hilbertův prostor, isomorfizmus, prostory L2 a l2
9. Ortonormální báze fukcí, Fourierovy řady
10. Komplexní tvar Fourierovy řady, diskrétní Fourierova transformace
11. Užití Fourierovy transformace, věta o konvoluci
12. Prostor L2 pro funkce více proměnných
13. Operátory a funkcionály na Hilbertově prostoru