Detail předmětu

Seminář z aplikované matematiky

FSI-0AMAk. rok: 2024/2025

Předmět navazuje na kurzy Matematika I, II, III a seznámí studenty s možnostmi využití základního matematického aparátu při matematickém modelování ve fyzice, mechanice a jiných technických oborech. V rámci semináře budou vybrány úlohy, s nimiž se studenti již dřive setkali, a ty budou podrobněji diskutovány z pohledu matematiky. Dále budou ukázány možnosti matematického modelování pomocí diferenciálních rovnic a způsoby analýzy získaných rovnic.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

2

Garant předmětu

doc. Ing. Jiří Šremr, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

Lineární algebra, diferenciální počet, integrální počet, řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic a jejich soustav.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Podmínka udělění zápočtu: Aktivní účast ve výuce.

Tolerovaná absence po dohodě s vyučujícím.

Učební cíle

Cíl kurzu: Cílem předmětu je studentům podrobněji ukázat uplatnění základního matematického aparátu ve fyzice, technické mechanice i jiných oborech. Úkolem je studenty naučit analyticky řešit vybrané úlohy pro parciální diferenciální rovnice a analyzovat nelineární obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy, které se vyskutují v různých matematických modelech.

Získané znalosti a dovednosti: Po absolvování předmětu studenti zvládnou analyticky řešit vybrané úlohy pro parciální diferenciální rovnice a pochopí souvislosti s úlohami z jiných oblastí matematiky. Budou schopni posoudit otázku stability a typu ekvilibrií nelineárních autonomních soustav a chování řešení v jejich okolí. Na vybraných úlohách z fyziky, mechaniky i jiných disciplín se seznámí s možnostmi matematického modelování pomocí obyčejných diferenciálních rovnic a s analýzou získaných rovnic.

Prerekvizity a korekvizity

Základní literatura

L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Text in Applied Mathematics, 7, Springer-Verlag, New York, 2001, ISBN 0-387-95116-4. (EN)
M. Levi, Classical Mechanics With Calculus of Variations and Optimal Control: An Intuitive Introduction.Student Mathematical Library 69, American Mathematical Society, 2014.ISBN 978-0-8218-9138-4. (EN)
P. Drábek, G. Holubová, Parciální diferenciální rovnice [online], Plzeň, 2011, dostupné z: http://mi21.vsb.cz/modul/parcialni-diferencialni-rovnice. (CS)
P. Hartman, Ordinary differential equations, John Wiley & Sons, New York - London - Sydney, 1964. (EN)

Doporučená literatura

J. Kalas, M. Ráb, Obyčejné diferenciální rovnice, Masarykova univerzita, Brno, 1995, ISBN 80-210-1130-0. (CS)
L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Text in Applied Mathematics, 7, Springer-Verlag, New York, 2001, ISBN 0-387-95116-4. (EN)
P. Drábek, G. Holubová, Parciální diferenciální rovnice [online], Plzeň, 2011, dostupné z: http://mi21.vsb.cz/modul/parcialni-diferencialni-rovnice. (CS)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program B-OBN-P bakalářský 1 ročník, letní semestr, volitelný

Typ (způsob) výuky

 

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Jiří Šremr, Ph.D.

Osnova

Po domluvě se studenty budou postupně vybírána některá z následujících témat:

  • Parciální diferenciální rovnice 1. řádu, transportní rovnice.
    Sturmova-Liouvilleova úloha pro obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu.
  • Vedení tepla v tyči, rovnice difuze.
  • Vlnová rovnice, charakteristiky, řešení počáteční úlohy.
  • Besselova rovnice, Besselovy funkce.
  • Kmitání struny a kruhové membrány.
  • Rovnice řetězovky.
  • Implicitní diferenciální rovnice, obálka jednoparametrického systému křivek.
  • Eulerova differenciální rovnice v řešení napjatosti tlustostěnných nádob a deformace kruhové desky.
  • Greenova funkce dvoubodové okrajové úlohy v řešení průhybu nosníku.
  • Fredholmovost periodické úlohy a vzpěrná stabilita prutů.
  • Planární autonomní soustavy ODR: Stabilita a klasifikace ekvilibrií, fázový portrét.
  • Lineární kmitání s 1 stupněm volnosti, různé druhy tlumení.
  • Duffingova rovnice, Jacobiho eliptické funkce.
  • Nelineární kmitání s 1 stupněm volnosti.
  • Lineání kmitání s dvěma stupni volnosti.
  • Modely populační dynamiky.
  • Modelování pohubu dislokací v krystalech.