Detail předmětu

Funkcionální analýza a prostory funkcí

FSI-9FAPAk. rok: 2024/2025

Předmět se zabývá základní pojmy funkcionální analýzy a prostorů funkcí a jejich využitím při analýze úloh matematické fyziky.

Jazyk výuky

čeština

Garant předmětu

prof. RNDr. Jan Franců, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

Diferenciální a integrální počet, numerické metody, obyčejné diferenciální rovnice.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Zkouška se skládá z praktické a teoretické čáasti. V praktická části jde o ilustraci pojmů na konkrétních příkladech. Teoretická část: otázky z přednesené látky.
V případě absence student si musí doplnit zameškanou látku samostudiem ze skript.

Učební cíle

Seznámit studenty se základy funkcionální analýzy a teorie prostorů funkcí a jejich využitím při analýze úloh matematické fyziky.
Znalost základních pojmů metrických, lineárních normovaných a unitárních prostorů, Lebesgueova integrálu a schopnost tyto pojmy využívat.

Základní literatura

Kufner, A., John, O., Fučík, S.: Function spaces. Academia, Praha, 1977. (EN)
Nečas, J.: Direct Methods in the Theory of Elliptic Equations, Springer, Heidelberg 2012. (EN)
Rektorys, K.: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky. SNTL, Praha, 1974. (CS)
Yosida, K. : Functional analysis, Springer, Berlin, 1965 (EN)
Ženíšek, A.: Nonlinear elliptic and evolution problems and their finite element approximations. Academic Press, London, 1990. (EN)

Doporučená literatura

Čech, E.: Bodové množiny, Academia, Praha, 1974, 288 stran (CS)
Franců, J.: Funkcionální analýza 1, Akad. nakl. CERM, Brno 2014 (CS)
Kolmogorov, A. N., Fomin, S. V. : Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy SNTL, Praha 1975. (CS)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program D-APM-P doktorský 1 ročník, letní semestr, doporučený kurs
  • Program D-APM-K doktorský 1 ročník, letní semestr, doporučený kurs

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

20 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. RNDr. Jan Franců, CSc.

Osnova

1. Metrika a metrické prostory, příklady.
2. Lineární a normované lineární prostory, Banachovy prostory.
3. Skalární součin a Hilbertovy prostory.
4. Příklady prostorů: R^n, C^n, prostory posloupností, spojitých a integrovatelných funkcí.
5. Základy Lebesgueova integrálu, Lebesgueovy prostory.
6. Zobecněné derivace, Soboleovy prostory.
7. Stopy funkcí. Věta o stopách.
8. Věty o vnoření. Věta o hustotě.
9. Lax-Milgramova věta a její aplikace při řešitelnosti diferenciálních rovnic.
10. Vztahy mezi diferenciálními a integrálními rovnicemi.