Detail předmětu

Numerická matematika I

FSI-9NM1Ak. rok: 2024/2025

Úvodní kurz numerických metod se věnuje následujícím tématům: numerické výpočty, přímé a iterační metody řešení lineárních rovnic, interpolace, metoda nejmenších čtverců, numerické derivování a integrování, nelineární rovnice, výpočet vlastních čísel a vektorů.

Jazyk výuky

čeština

Garant předmětu

doc. Ing. Petr Tomášek, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

Lineární algebra, vektorový počet, integrální a diferenciální počet.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Zkouška je ústní. U zkoušky jsou položeny tři otázky, jedna otázka z okruhu lineární algebry, druhá z nelineárních rovnic a třetí z okruhu interpolace, derivování a integrování.

Účast na přednáškách je žádoucí. Výuka probíhá podle týdenních rozvrhů. Způsob náhrady zameškané výuky je plně v kompetenci přednášejícího.

Učební cíle

Cílem kurzu je seznámit studenty s numerickými metodami lineární algebry, s řešením nelineárních rovnic a s metodami interpolace, numerického derivování a integrování.
Studenti získají základní znalosti z numerických metod lineární algebry, nelineárních rovnic, interpolace, derivování a integrování. To jim umožní, aby si správně vybrali z neobyčejně široké nabídky hotových programů nabízených na trhu (výjimečně aby si takový program sami napsali) a aby tyto programy uměli s rozmyslem a efektivně používat při řešemí svých specifických technických problémů.

Základní literatura

A. Quarteroni, S. Sacco, F. Saleri: Numerical Mathematics, Springer-Verlag, New York, 2000.
C.B. Moler: Numerical Computing with Matlab, Siam, Philadelphia, 2004.
C.F. Van Loan, G.H. Golub: Matrix Computations, 3th ed., the Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996.
G. Dahlquist, A. Bjork: Numerical Methods. Prentice-Hall, 1974
M.T. Heath: Scientific Computing. An Introductory Survey. Second edition. McGraw-Hill, New York, 2002.

Doporučená literatura

A. R. Ralston: Základy numerické matematiky. Academia, Praha, 1973.
E. Vitásek: Numerické metody. SNTL, Praha, 1987
I. Horová, J. Zelinka: Numerické metody, učební text Masarykovy univerzity, Brno, 2004.
K. Rektorys: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha, 1995
L. Čermák, R. Hlavička: Numerické metody. Učební text FSI VUT Brno, CERM, 2016.
L. Čermák: Vybrané statě z numerických metod. https://mathonline.fme.vutbr.cz/Numericke-metody-I/sc-1150-sr-1-a-141/default.aspx

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program D-ENE-P doktorský 1 ročník, zimní semestr, doporučený kurs
  • Program D-ENE-K doktorský 1 ročník, zimní semestr, doporučený kurs

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

20 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

doc. Ing. Petr Tomášek, Ph.D.

Osnova

Předmět má 10 dvouhodinových přednášek.
1. Úvod do numerické matematiky: základní vlastnosti matic, chyby, podmíněnost problémů a algoritmů.
2. Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic: Gaussova eliminační metoda, pivotování, LU-rozklad, Choleského rozklad, podmíněnost.
3. Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic: klasické iterační metody (Jacobiova, Gaussova-Seidelova, SOR, SSOR), zobecněná metoda minimálních reziduí, metoda sdružených gradientů.
4. Interpolace: Lagrangeův, Newtonův a Hermitův interpolační polynom, interpolační splajny.
5. Metoda nejmenších čtverců: prokládání dat křivkami, řešení přeurčených soustav lineárních rovnic (QR rozklad, pseudoinverze, metody ortogonalizace).
6. Numerické derivování: základní formule, Richardsonova extrapolace.
7. Numerické integrování: Newtonovy-Cotesovy formule, Gaussovy formule, adaptivní integrace.
8. Řešení nelineárních rovnic: jedna rovnice (metoda bisekce, Newtonova metoda, metoda sečen, metoda regula falsi, metoda inverzní kvadratické interpolace, Brentova metoda); soustavy nelineárních rovnic (Newtonova metoda a její modifikace, metoda prosté iterace).
9. Vlasní čísla a vlastní vektory: mocninná metoda, QR metoda.
10. Vlasní čísla a vlastní vektory: Arnoldiho metoda, Jacobiho metoda, metoda bisekce, výpočet singulárního rozkladu.