Detail předmětu

Funkcionální analýza I

FSI-SU1Ak. rok: 2024/2025

V předmětu se diskutují základní pojmy a principy funkcionální analýzy týkající se především metrických prostorů, lineárních normovaných prostorů (speciálně Banachových) a unitárních prostorů (speciálně Hilbertových). Zmíněny jsou i elementy Lebesgueova integrálu. Dále je ukázáno využití těchto pojmů při řešení některých úloh matematické analýzy a numerické matematiky.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

5

Garant předmětu

prof. Mgr. Pavel Řehák, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

Diferenciální počet, integrální počet, diferenciální rovnice, lineární algebra, elementy teorie množin, elementy numerické matematiky.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Zápočet: aktivní účast ve cvičeních (účast je povinná), úspěšné napsání testu.
Zkouška: Zkouška má ústní formu. Diskutována je teorie i příklady. Vyžaduje se orientace v probraných základních pojmech a principech disciplíny a ilustrace teorie v konkrétních situacích.
Bude kontrolována účast na cvičeních. V průběhu semestru bude psán test.

Učební cíle

Seznámit studenty a naučit je pracovat se základními pojmy a postupy funkcionální analýzy, které jsou využívány v dalších matematických disciplínách.

Základní znalost metrických, lineárních normovaných a unitárních prostorů, elementů Lebesgueova integrálu, teorie lineárních funkcionálů a souvisejících pojmů. Schopnost získané poznatky využívat.

Základní literatura

A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL, Praha 1975. (CS)
A. Torchinsky, Problems in real and functional analysis, American Mathematical Society 2015. (EN)
C. Costara, D. Popa, Exercises in functional analysis, Kluwer 2003. (EN)
D. Farenick, Fundamentals of functional analysis, Springer 2016. (EN)
D. H. Griffel, Applied functional analysis, Dover 2002. (EN)
E. Zeidler, Applied functional analysis: Main principles and their applications, Springer, 1995. (EN)
F. Burk, Lebesgue measure and integration: An introduction, Wiley 1998. (EN)
I. Netuka, Základy moderní analýzy, MatfyzPress 2014. (CS)
J. Franců, Funkcionální analýza 1, FSI VUT 2014. (CS)
J. Lukeš, Zápisky z funkcionální analýzy, Karolinum 1998. (CS)
Z. Došlá, O. Došlý, Metrické prostory: teorie a příklady, PřF MU Brno 2006. (CS)

Doporučená literatura

A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL, Praha 1975. (CS)
D. Farenick, Fundamentals of functional analysis, Springer 2016. (EN)
D. H. Griffel, Applied functional analysis, Dover 2002. (EN)
I. Netuka, Základy moderní analýzy, MatfyzPress 2014. (CS)
J. Franců, Funkcionální analýza 1, FSI VUT 2014. (CS)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program B-MAI-P bakalářský 3 ročník, letní semestr, povinný

  • Program C-AKR-P celoživotní vzdělávání v akr. stud. programu

    specializace CLS , 1 ročník, letní semestr, volitelný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. Mgr. Pavel Řehák, Ph.D.

Osnova

Metrické prostory
Základní pojmy a fakta. Uzavřené a otevřené množiny. Konvergence. Separabilní metrické prostory.
Úplné metrické prostory.
Zobrazení metrických prostorů. Banachova věta o pevném bodu. Aplikace.
Kompaktní prostory. Prekompaktnost a relativní kompaktnost. Arzeláova-Ascoliho věta.
Příklady.

Elementy teorie míry a integrálu
Motivace. Lebesgueova míra. Měřitelné funkce. Lebesgueův integrál.
Základní vlastnosti. Věty o limitních přechodech.
Lebesgueovy prostory.
Příklady.

Normované lineární prostory
Základní pojmy a fakta. Banachovy prostory.
Izometrie. Homeomorfismus.
Vliv dimenze prostoru.
Nekonečné řady v Banachových prostorech.
Schauderova věta a aplikace.
Příklady.

Unitární prostory
Základní pojmy a fakta. Hilbertovy prostory.
Izometrie. Ortogonalita. Ortogonální projekce,
Obecné Fourierovy řady. Rieszova-Fischerova věta.
Separabilní Hilbertovy prostory.
Příklady.

Lineární funkcionály, duální prostory
Pojem lineárního funkcionálu. Lineární funkcionály v normovaném prostoru.
Spojité a ohraničené funkcionály.
Hahnova-Banachova věta a její důsledky.
Duální prostor. Reflexivita.
Banachova-Steinhausova věta a její důsledky.
Slabá konvergence.
Příklady.

Speciální typy prostorů (v rámci probírané teorie), zejména prostory posloupností, prostory spojitých funkcí, prostory integrovatelných funkcí. Některé nerovnosti.

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

prof. Mgr. Pavel Řehák, Ph.D.

Osnova

Procvičování látky z přednášek zejména na konkrétních příkladech prostorů konečné dimenze, prostorů posloupností a prostorů spojitých a integrovatelných funkcí.