Detail předmětu

Fourierova analýza

FSI-SFA-AAk. rok: 2024/2025

Předmět se zabývá základními pojmy Fourierovy analýzy a její ilustrací na konkrétních příkladech. Jsou především probrány otázky reprezentace funkcí pomocí trigonometrického systému, Fourierova a Laplaceova transformace, jejich vlastnosti a aplikace.

Jazyk výuky

angličtina

Počet kreditů

4

Garant předmětu

prof. Aleksandre Lomtatidze, DrSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (ÚM)

Vstupní znalosti

Matematická analýza, základy lineární funkcionální analýza, míra a integrál.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Účast na cvičení je povinná.
Zápočet: aktivní účast ve cvičeních, úspěšné napsání kontrolní práce.
Zkouška - praktická část: ilustrace pojmů na konkrétních příkladech.
Teoretická část: otázky z přednesené látky.
V případě nepřítomnosti si student musí doplnit zameškanou látku samostudiem z literatury.

Učební cíle

Seznámit a naučit studenty pracovat se základními pojmy a metodami Fourierovy analýzy, které jsou využívány v dalších matematických předmětech.
Znalost základních pojmů a metod Fourierovy analýzy, zejména Fourierových řad, Fourierovy a Laplaceovy transformace a schopnost tyto pojmy prakticky využívat.

Základní literatura

L. Grafakos, Classical Fourier Analysis: Third edition, Graduate Texts in Mathematics, 249. Springer, New York, 2014. (EN)
A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL, Praha 1975. (CS)
E. W. Howel, B. Keneth: Principles of Fourier Analysis, CRC Press, 2001. (EN)
I. P. Natanson: Teorija funkcij veščestvennoj peremennoj, [Theory of functions of a real variable] ,Third edition, "Nauka'', Moscow, 1974. (RU)

Doporučená literatura

E. M. Stein´, G. Weiss: Introduction to Fourier Analysis on Eucledian spaces, Princeton University Press, 1971 (EN)

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program N-AIM-A magisterský navazující 2 ročník, zimní semestr, povinný
  • Program N-MAI-P magisterský navazující 2 ročník, zimní semestr, volitelný

  • Program C-AKR-P celoživotní vzdělávání v akr. stud. programu

    specializace CZS , 1 ročník, zimní semestr, volitelný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

prof. Aleksandre Lomtatidze, DrSc.

Osnova

1. Prostor integrovatelných funkcí - definice a základní vlastnosti, husté podmnožiny, věty o limitních přechodech.
2. Prostor kvadraticky integrovatelných funkcí - konvergence v průměru druhého stupně, Fourierova řada.
3. Singulární integrály - definice, věta o reprezentaci, aplikace pro Fourierovy řady.
4. Trigonometrické řady.
5. Fourierův integrál.
6. Fourierova transformace - Fourierova transformace (FT), inverzní vzorec, základní vlastnosti FT, úplnost systému Hermitových a Laguerových funkcí, FT a konvoluce funkcí, aplikace.
7. Plancherelova věta, Hermitovy funkce.
8. Laplacova transformace.

Cvičení

13 hod., povinná

Vyučující / Lektor

prof. Aleksandre Lomtatidze, DrSc.

Osnova

1. Prostor integrovatelných funkcí - definice a základní vlastnosti, husté podmnožiny, věty o limitních přechodech.
2. Prostor kvadraticky integrovatelných funkcí - konvergence v průměru druhého stupně, Fourierova řada.
3. Singulární integrály - definice, věta o reprezentaci, aplikace pro Fourierovy řady.
4. Trigonometrické řady.
5. Fourierův integrál.
6. Fourierova transformace - Fourierova transformace (FT), inverzní vzorec, základní vlastnosti FT, úplnost systému Hermitových a Laguerových funkcí, FT a konvoluce funkcí, aplikace.
7. Plancherelova věta, Hermitovy funkce.
8. Laplacova transformace.